Grenzwert Konvergente Folgen

22.04.2012, 17:09	Hollyw00d	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Konvergente Folgen Aufgabe: Geben Sie inklusive Begründung Grenzwerte folgender Folgen an: $\begin{eqnarray} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \left(1 - \frac{1}{9} \right) ... \left(1 - \frac{1}{n^{2} } \right) \end{eqnarray}$ Der Grenzwert geht mMn gegen 1/2. Nach dem ausrechenen der Klammern lässt sich das Ganze immer mit dem Ergebnis der nächste Klämmer so kürzen, dass das Ergebnis knapp über 1/2 liegt. aber das kann man doch sicherlich auch mit den "letzten Elementen" nachweisen, oder? Also bei: $\begin{eqnarray} (1 - \frac{1}{{(n-1)}^2}) \left(1- \frac{1}{n^2} \right) \end{eqnarray}$ sprich irgendwie kürzen, oder?
23.04.2012, 10:04	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Konvergente Folgen Offensichtlich ist $\begin{eqnarray} 1- \frac{1}{n^2} = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \end{eqnarray}$ . Da kann man sich leicht überlegen, welche Faktoren sich rauskürzen.
23.04.2012, 14:15	ide	Auf diesen Beitrag antworten »
wäre das Ergebnis dann $\begin{eqnarray} -\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ oder einfach -1 ?
23.04.2012, 14:36	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Man fragt sich, ob das rauskommen kann, wenn man nur positive Werte multipliziert.
23.04.2012, 15:11	ide	Auf diesen Beitrag antworten »
hm stimmt allerdings. Dachte halt wegen dem wegkürzen von n bleibt ja -1 * 1 über. Oder wo ist mein Denkfehler ?
23.04.2012, 15:22	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlich machst du einen Fehler beim Kürzen.
Anzeige

23.04.2012, 16:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder überhaupt bei der Zuordnung, welches $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zum ersten Faktor gehört: Das ist $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ , während du wohl mit sowas wie $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ gerechnet hast. Was nun gar keinen Sinn ergibt, da dann der Nenner gleich 0 ist und somit der ganze Faktor undefiniert ist.
23.04.2012, 17:07	Hollyw00d	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist der Grenzwert 1?
23.04.2012, 17:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, mit dem 1/2 im Eröffnungsposting hattest du schon recht. Berechne doch mal $\begin{eqnarray} a_n = \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) \left(1 - \frac{1}{3^2} \right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{n^{2} } \right) \end{eqnarray}$ für die ersten paar $\begin{eqnarray} n=2,3,4,\ldots \end{eqnarray}$ usw. solange wie du eben brauchst, bis du eine explizite Formel für $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ findest. Die so auch heuristische Weise gefundene Formel lässt sich dann "mathematisch seriös" über vollständige Induktion beweisen bzw. man kann auch sagen begründen (da es ein sehr kurzer Beweis ist). Mit der gefundenen Darstellung ist dann $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ dann nur noch eine schnell erkennbare Folgerung.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »