Mengen: Beweis Assoziativität; kartesisches Produkt & Komplement

22.04.2012, 18:14

SilverShadow

Mengen: Beweis Assoziativität; kartesisches Produkt & Komplement

Meine Frage:
Hallo,
Hänge gerade ziemlich bei einer Übungsaufgabe fest, wir haben das Thema auch noch nicht in der VL behandelt (scheint wohl Norm zu sein...)

Aufgabe:
Seien U,V, X,Y Mengen.
Beweisen oder widerlegen Sie:
(U x V)\(X x Y) = (U\X) x (V\Y).

Meine Ideen:
Also, ähnliche Aufgaben habe ich meistens mit Umformungen über die Logik gelöst z. B. U\X <-> $\begin{eqnarray*} x\in U \wedge x \in /X \end{eqnarray*}$
(Das / steht für nicht Element)

Nur leider bleibe ich mit der Methode bei dem kartesischen Produkt stecken, weil ich nicht weiß wie ich das anders formulieren kann.

Vielen Dank für eure Hilfe smile

22.04.2012, 19:49

weisbrot

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RE: Mengen: Beweis Assoziativität; kartesisches Produkt & Komplement
U x V sind halt alle (geordneten) paare von elementen aus U mit el. aus V. diese identität kannst du im prinzip genauso zeigen wie dus gewohnt bist - du sagst dann eben nicht mehr "... <=> x in A" sondern "(x,y) in A" usw. lg

22.04.2012, 20:10

SilverShadow

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Wäre dann

(UxV)\(XxY) <-> $\begin{eqnarray*} ((x,y)\in U\wedge V)\wedge x\in /((x,y)\in X\wedge Y) \end{eqnarray*}$
<-> $\begin{eqnarray*} ((x,y)\in U\wedge V)\wedge (x,y)\in / X\vee Y \end{eqnarray*}$

richtig? Element / bedeutet wieder nicht Element.

22.04.2012, 20:58

weisbrot

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sieht ziemlich komisch aus. da sollte wohl $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ (zwischen den mengen).

$\begin{eqnarray*} (x,y) \in (U \times V)\setminus (X\times Y) \\ \Leftrightarrow (x,y) \in (U \times V)\wedge (x,y) \notin (X\times Y) \\ \Leftrightarrow (x\in U\wedge y \in V)\wedge (x\notin X\wedge y\notin Y)\\ \Leftrightarrow ... \end{eqnarray*}$

lg

22.04.2012, 21:43

SilverShadow

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Also wäre auch

(x,y) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (U\X)x(V\Y) <-> $\begin{eqnarray*} x \in U \wedge x \notin X \wedge y \in V \wedge y \notin Y \end{eqnarray*}$

Wenn ich das noch minimal umstelle hätte ich die Aussage ja bewiesen?

22.04.2012, 22:11

weisbrot

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jop! einfach nur mit den definitionen arbeiten. lg

09.05.2012, 22:43

SilverShadow

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Zitat:

Original von weisbrot
sieht ziemlich komisch aus. da sollte wohl $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ (zwischen den mengen).

$\begin{eqnarray*} (x,y) \in (U \times V)\setminus (X\times Y) \\ \Leftrightarrow (x,y) \in (U \times V)\wedge (x,y) \notin (X\times Y) \\ \Leftrightarrow (x\in U\wedge y \in V)\wedge (x\notin X\wedge y\notin Y)\\ \Leftrightarrow ... \end{eqnarray*}$

lg

Kleiner Nachtrag, da hattest du wohl einen Tippfehler:
$\begin{eqnarray*} (x,y) \notin (X\times Y) \Leftrightarrow x \notin X \vee x \notin Y \end{eqnarray*}$

Also statt dem und ein oder; verstehe ich auch smile

10.05.2012, 21:20

weisbrot

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ja stimmt, oder nicht nachgedacht Augenzwinkern

10.05.2012, 21:50

SilverShadow

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das wollte ich nicht sagen ;P

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