l'Hospital unendlich - unendlich mal 0

22.04.2012, 19:09

Anaconda55

l'Hospital unendlich - unendlich mal 0

Hallo,
kann mir bitte jemand helfen?

Ich muss mit der Regel von l'Hospital folgendes bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = f(x) = (x^2 -2x) e^{-x} \end{eqnarray*}$

Stimmt es, dass bei der Grenzwertbetrachtung nun folgendes existiert:

$\begin{eqnarray*} (\infty - \infty) \cdot 0 \end{eqnarray*}$

Somit währe der Klammerausdruck bereits umbestimmt.
Stimmt meine Theorie?

22.04.2012, 19:19

Equester

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Für die Anwendung des L'Hospital brauchst du einen unbestimmten Ausdruck der Form
$\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Das liegt bei dir augenscheinlich nicht vor.

Bring die e-Funktion in den Nenner Augenzwinkern

22.04.2012, 19:24

Anaconda55

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Mein Problem ist, dass ich nicht weiß ob der Klammerausdruck unendlich ist?
Wenn dieser schon unbestimmt ist also unendlich minus unendlich ist es dann ein Problem oder kann ich einfach den L'Hospital auf folgendes anwenden:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 - 2x}{e^{-x}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

Dazu müsste der obere Klammerausdruck aber 0 sein, das heißt unendlich minus undlich ist null.

22.04.2012, 19:26

Equester

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 - 2x}{e^{\color{red}-\color{black}x}} \end{eqnarray*}$

Da ist dir ein Fehler unterlaufen.

Wir haben es mit $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ zu tun. x² geht bedeutend schneller gegen unendlich als x!
Im Nenner kannst du also getrost $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ annehmen Augenzwinkern

22.04.2012, 19:29

Anaconda55

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Zitat:

Da ist dir ein Fehler unterlaufen.

Stimmt, danke!

Zitat:

x² geht bedeutend schneller gegen unendlich als x!

Habe ich mir auch schonmal gedacht, war mir aber nicht sicher.

Ich mach jetzt erstmal weiter. Danke!

22.04.2012, 19:32

Equester

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Gut

22.04.2012, 19:45

Mystic

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Zitat:

Original von Anaconda55

Zitat:

x² geht bedeutend schneller gegen unendlich als x!

Habe ich mir auch schonmal gedacht, war mir aber nicht sicher.

Nur zur Klarstellung: x² geht zwar bedeutend schneller gegen unendlich als x, aber bedeutend langsamer als x! Big Laugh

22.04.2012, 19:50

Equester

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Ertappt

22.04.2012, 19:58

Anaconda55

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Ist mit x! jetzt die Fakultät gemeint? Damit ich den Spaß auch verstehe? Augenzwinkern

22.04.2012, 19:59

Equester

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Ist es

22.04.2012, 20:07

Anaconda55

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Zur Aufgabe, ich musste jetzt 2 mal L'Hospital anwenden und komme auf das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$

22.04.2012, 20:17

Equester

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Wenn du den 2mal anwendest...auf was kommst du dann? Augenzwinkern

23.04.2012, 07:31

Anaconda55

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Also ich meinte folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-2x}{e^x} = \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2x-2}{\infty} = \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2-2}{\infty} = \frac{0}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

23.04.2012, 09:13

klarsoweit

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Abgesehen von der mangelhaften Schreibweise vor allem mit dem "unendlich" solltest du nochmal über die Ableitung von 2x - 2 nachdenken.

23.04.2012, 19:34

Anaconda55

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Zitat:

Abgesehen von der mangelhaften Schreibweise vor allem mit dem "unendlich"

Was ist denn mangelhaft? Wie schreibt man jenes deiner Meinung?

Zitat:

solltest du nochmal über die Ableitung von 2x - 2 nachdenken

Die Konstante fällt natürlich weg.

Bleibt
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\infty} = \frac{2}{\infty} = 0 \end{eqnarray*}$

24.04.2012, 09:09

klarsoweit

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RE: l'Hospital unendlich - unendlich mal 0
Eine korrekte Schreibweise wäre:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x}{e^x} \underbrace{=}_{l'Hospital} \lim_{x \to \infty} \frac{2x - 2}{e^x} \underbrace{=}_{l'Hospital} \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0 \end{eqnarray*}$

01.05.2012, 23:46

Anaconda55

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort.

Ich habe nun noch folgendes Problem bei der gleichen Aufgabe:
Frage: Bestimmen Sie auf D(f) die lokalen und absoluten Extrema und das Monotonieverhalten der Funktion.

Lokale Extrema habe ich bestimmt:
$\begin{eqnarray*} H(2 + \sqrt{2} | 0,159) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(2 - \sqrt{2} | -0,461) \end{eqnarray*}$

Aber wie bestimme ich globale Extrema?

01.05.2012, 23:55

1nstinct

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Bestimme alle Extremstellen, führe Randbetrachtung durch, vergleiche ihre Funktionswerte. So würde ich vorgehen smile

05.05.2012, 17:30

Anaconda55

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Hallo,
ich hänge leider immer noch an der Aufgabe.

Habe jetzt eine Randbetrachtung gemacht und kommen beim Definitionsbereich von 0; unendlich zum Schluss, dass $\begin{eqnarray*} f(2-\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ beim globales Minimum ist, da der Funktionswert hier kleiner als der von $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Die Randbetrachtung zu unendlich habe ich ja schon mit l'Hospital durchgeführt. Der Funktionswert ist gegen Unendlich null, da hier ja schließlich auch $\begin{eqnarray*} e^{-\infty} \end{eqnarray*}$ als Faktor vorkommt, was ja 0 ist. Es steht also $\begin{eqnarray*} x \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Heißt das nun, dass es kein globales Maximum gibt? Oder wie finde ich es?

Definitionsmenge ist übrigens:
$\begin{eqnarray*} D(f) = [0/\infty[ \end{eqnarray*}$

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