Vollständige Induktion mit Fakultät

22.04.2012, 21:35	jens998	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion mit Fakultät Hi, folgende Aufgabe habe ich: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} \end{eqnarray}$ Induktionsanfang und Induktionsannahme habe ich. So sieht mein Induktionsschluss n-> n+1 aus: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+2)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!} + \sum\limits_{k=n+1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} \end{eqnarray}$ Dann die Induktionsannahme einsetzen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} = 1- \frac{1}{(n+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} = 1- \frac{1}{(n+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)(n+1)!} \end{eqnarray}$ mit (n+2) erweitern: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} = 1- \frac{(n+2)}{(n+2)(n+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)(n+1)!} \end{eqnarray}$ Jetzt komme ich auf das Ergebnis : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} = 1 - \frac{(n+2)+(n+1)}{(n+2)!} \end{eqnarray}$ Richtig wäre aber meiner Meinung nach das Ergebnis : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} = 1 - \frac{(n+2)-(n+1)}{(n+2)!} \end{eqnarray}$ Ich verstehe hier aber nicht warum zwischen den Zusammengefassten Brüchen im Zähler ein - MINUS steht und kein Plus. Die Zähler müssen doch eigentlich addiert werden. Habe ich bei den Zwischenschritten irgendwas falsch gemacht? Da am Ende ja das hier rauskommen muss, wäre die Subtraktion zwischen den Zählern richtig: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+2)!} \end{eqnarray}$ Vielen Dank
22.04.2012, 22:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte, dass vor dem ersten Bruch ein Minus steht.
22.04.2012, 22:07	jens998	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank, jetzt hab ichs auch verstanden.

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