Krümmung einer Kugel über eine spezielle Formel berechnen

23.04.2012, 12:25	dutiwrik	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmung einer Kugel über eine spezielle Formel berechnen Folgende Formel kann zur Berechnung der Gauß'schen Kruemmung genutzt werden. $\begin{eqnarray} G = N \cdot \left( N_{x} \times N_{y} \right) \| n_{z} \| \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ der Normalenvektor, $\begin{eqnarray} N_{x} \end{eqnarray}$ der Normalenvektor in x-Richtung abgeleitet, $\begin{eqnarray} N_{y} \end{eqnarray}$ der Normalenvektor in y-Richtung abgeleitet und $\begin{eqnarray} n_{z} \end{eqnarray}$ die z-Komponente des Normalenvektors ist. Diese Formel stimmt nur an Stellen, an denen der Betrag der z-Komponente des Normalenvektors (= $\begin{eqnarray} \| n_{z} \| \end{eqnarray}$ ) groesser ist als die jeweiligen Betraege der beiden anderen Komponenten des Normalenvektors. Dies soll uns aber fuers erste nicht kuemmern. Ich moechte diese Formel nun auf einen speziellen Punkt einer Kugel anwenden. Damit auch etwas passiert betrachte ich nicht die Einheitskugel, sondern eine Kugel mit Radius 2 und betrachte den Punkt (x,y,z) = (0,0,2). Dort ist der Normalenvektor genau (0,0,1). Nun wuerde ich gerne $\begin{eqnarray} N_{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N_{y} \end{eqnarray}$ berechnen, nur weiss ich nicht genau wie. Koenntet ihr mir dabei helfen?* Evtl. eine implizite Form der Kugelgleichung aufstellen z = f(x,y) und dann die partiellen Ableitungen bilden? Zur spaeteren Kontrolle kann ich die Gauß'sche Kruemmung auch ueber das Produkt der Hauptkruemmungen berechnen: $\begin{eqnarray} G = \frac{1}{r_{1}} \frac{1}{r_{2}} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Somit muss in jedem Punkt der Kugel die Kruemmung gleich $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ sein.
23.04.2012, 13:15	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Parameterdarstellung der "oberen" Kugeloberfläche lautet (wenn $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ die Flächenparameter sind) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \sqrt{R^2-x_1^2-x_2^2}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Normalenvektor ergibt sich daraus (speziell bei der Kugeloberfläche) durch Division durch den Radius, also $\begin{eqnarray} \vec N=\begin{pmatrix} N_1 \\ N_2 \\ N_3 \end{pmatrix}=\frac{1}{R}\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \sqrt{R^2-x_1^2-x_2^2}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diesen Normalenvektor musst du nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ ableiten, wobei R eine Konstante ist, also $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec N}{\partial x_1}=\frac{1}{R}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -\tfrac{x_1}{\sqrt{R^2-x_1^2-x_2^2}}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec N}{\partial x_2}=\frac{1}{R}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\tfrac{x_2}{\sqrt{R^2-x_1^2-x_2^2}}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
23.04.2012, 13:30	dutiwrik	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Ehos: Vielen Dank! Damit haste mir schon einiges geholfen.

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