Extremwertaufgabe: Zylinder mit maximalem Volumen |
| 23.04.2012, 13:30 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Extremwertaufgabe: Zylinder mit maximalem Volumen Aufgabe: Aus 1200 cm² Blech soll ein zylindrischer, oben offener Behäiter maxima- Ien Volumens geformt werden. Welche Maße r und h erhäit der Zylinder? Fertige eine Skizze an! Also zur Form: Ich stelle mir vor dass die Form ähnlich sein muss wie ein Kochtopf (oben offen) Jetzt zur Zylinderbrechnung: V= r² x Pi x h 1200 = r² x 3,14159 x h jetzt muss ich erstmal die formel erstellen damit ich r und h raus bekomme, nur wie mache ich das nochmal ? wie geh ich weiter vor ? |
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| 23.04.2012, 13:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Extremwertaufgaben
Der Witz ist nur, daß 1200 cm² die Oberfläche des Zylinders und nicht das Volumen ist. 
Außerdem würde ich pi als pi stehen lassen und nicht durch eine Zahl ersetzen, deren Dezimaldarstellung eh nie aufhört. 
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| 23.04.2012, 13:47 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
oooooooooohhhhh mannn bin ich doof. habe das zu volumen geschrieben. =) bin ein bissi matsch im kopf vom vielen lernen. ne andere frage: versteht ihr auch aus der aufgabenstellung dass der zylinder eine mantelfläche hat + den kreis auf dem er steht ?!? oben ist ja offen, also wird unten zu sein, oder ? neuer versuch wie sollte ich denn nun vorgehen ? weiß nicht wie es losgeht . |
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| 23.04.2012, 14:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So sehe ich das auch. Einen Behälter, der unten offen ist, wird wohl niemand kaufen wollen. 
Wie wäre es, wenn du dir nochmal Gedanken machst, wie hier Zielfunktion und Nebenbedingung aussehen? |
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| 23.04.2012, 14:39 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok , also muss ich evtl. 2 funktionen aufstellen 1. die kreisfläche vom boden A = r² x Pi 2. fläche vom mantel A = d x Pi x h gesucht ist bei Vmax= r & h Agesamt = 1200cm² = A-kreis + A-mantel und genau jetzt hängts bei mir.... |
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| 23.04.2012, 15:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie lautet denn nun deine Zielfunktion? |
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| 23.04.2012, 15:11 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
k.a. ?!?!?!? |
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| 23.04.2012, 15:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Zielfunktion würde ich mal bei der Größe suchen, von dem der Extremwert bestimmt werden soll. |
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| 23.04.2012, 16:07 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aufgabe: Aus 1200 cm² Blech soll ein zylindrischer, oben offener Behäiter maxima- Ien Volumens geformt werden. Welche Maße r und h erhäit der Zylinder? Fertige eine Skizze an! ok also hier V= r² x Pi x h Zielfunktion: V(r,h) = r² x Pi x h Hilfsfunktion: h (r)= ???? ...jetzt hängts wieder.... |
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| 23.04.2012, 17:14 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok, andere frage. wie würde ich im allgemeinen die einzelnen längen raus bekommen mit hilfe der Volumenfunktion ?Wenn ich das heraus bekomme, schaffe ich vllt auch den rest =) |
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| 24.04.2012, 08:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jetzt kommen wir auf die Nebenbedingung zu sprechen. Laut Aufgabe sollst du mit 1200 cm² Blech auskommen, was ja wohl offensichtlich eine Einschränkung (= Nebenbedingung) darstellt, da du ja nicht beliebig viel Blech verbrauchen darfst. Also mußt du dir mal die Oberfläche des Zylinders anschauen, was du ja auch schon ansatzweise getan hast. |
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| 25.04.2012, 11:36 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmm ich glaube, so viele hilfestellung du mir noch gibst, ohne dass du mir genauere tipps gibst wird das vor weihnachten nix =) also, meine ZF ist ja die die ich maximal haben will. V = r² x Pi x h jetzt brauche ich eine andere funktion, eine für die mantelflächje, da sich das blech ja auf die mantelfläche bezieht. A = r² x Pi + Pi x D x h jetzt brauch ich diese hilfsformel: ich bin komplett planlos wie das jetzt geht. |
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| 25.04.2012, 11:55 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau dieses ist die andere Funktion. Es ist die Bedingung A(r, h) = r² x Pi + Pi x D x h = 1200 einzuhalten. Wenn du noch D = 2r ersetzt, hast du eine Gleichung, die du bequem nach h umstellen kannst. Und bitte benutze * als Multiplikationszeichen, da das x zu leicht als Variable angesehen wird. |
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| 25.04.2012, 12:19 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmm und nach h umstellen heißt ? durch h teilen ? A (h) = r²*Pi + Pi * 2r --------------------- h f(x) = r² * Pi * (r²*Pi + Pi * 2r) ...................-------------------- ............................h nur wie leite ich sowas ab ? hier ist irgendwo ein fehler (beim umstellen nach h) |
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| 25.04.2012, 12:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nach h umstellen bedeutet, daß du eine Gleichung der Form h = ... erhältst. (Ich hätte erwartet, daß man das in der Oberstufe weiß.) Außerdem geht es um die Gleichung r² * Pi + Pi * 2r * h = 1200 . |
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| 25.04.2012, 13:00 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja ich weiß was nach h umstellen heißt, nur dann muss ich doch durch h teilen ,oder ? A(r, h) = r² * Pi + Pi * 2r * h = 1200 nach h umstellen heißt doch dass das h aus der gleichung verschwiden muss, damit ich es berechnen kann. hmm dann setzt sich h zusammen aus: 1200 - r²*Pi + Pi * 2r = h ? und ja, normalerweise weiß man das auch in der oberstufe. und normalerweise kann man eine extremwertaufgabe auch in der oberstufe berechnen. und weil ich das nicht kann, bin ich hier |
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| 25.04.2012, 13:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein. Stelle mal 3*h = 12 nach h um. Dividierst du dann durch h 
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| 25.04.2012, 13:14 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
schau mal meinen vorherigen post, habe dort was editiert. 3*h = 12 h = 12 / 3 das ist ja einfach, das kann man im kopf weil man weiß 12 / 3 ergibt h. wie macht man das bei größeren funktionen mit mehreren variabelen etc ? muss man dann die genau funktion verstehen, warum sie sich so zusammensetzt ? bsp. es geht um ne formel aus der irgendwas ausgerechnet wird und die formel ist ziemlich groß ( besteht aus mehreren variabelen, potenzen etc. ) wie bekommt man dann dort eine variabele heruasgelöst um die formel umzustellen ? |
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| 25.04.2012, 13:34 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tendenziell bist du auf dem richtigen Weg, allerdings ist obiges falsch. Richtig wäre: 1200 - r²*Pi = Pi * 2r * h Das mußt du noch nach h auflösen / umstellen.
Das hat mit Funktionen nichts mehr zu tun, sondern nur mit Gleichungen. Und ob da noch andere Variablen drinstecken oder nicht, ändert nichts am prinzipiellen Verfahren. Beispielsweise kann man die physikalische Gleichung v = s * t wahlweise nach s oder t umstellen, je nachdem, was man braucht. |
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| 25.04.2012, 13:44 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tendenziell bist du auf dem richtigen Weg, allerdings ist obiges falsch. Richtig wäre: 1200 - r²*Pi = Pi * 2r * h und wie stelle ich nach h um ? g v = s * t und wie stelle ich so ne gleichung um ? nicht einfach durch s teilen... g v / s = t .... doch in diesem fall würde es gehen, einfach teilen. im obigen fall kann ich ja aber nicht einfach teilen. wie geht das dort ? |
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| 25.04.2012, 14:44 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
auflösen nach h wäre was anderes als umstellen nach h, richtig ? auflösen nach irgendwas, wäre ja dass ich die anderen variabelen/zahlen auf die andere seite bringen muss, damit mein "irgendwas" allein stehen bleibt, richtig ? wie geht dann umstellen ? bei auflösen nach h wäre es ja: V = Pi * 2 * h / : Pi V/Pi = 2*h / : 2 V/Pi/2 = h |
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| 25.04.2012, 15:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist das gleiche.
Ja.
Ist im Prinzip richtig, um aber Mißverständnisse zu vermeiden, sollte man aber (V/Pi)/2 = h schreiben. |
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| 25.04.2012, 15:06 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Extremwertaufgaben ne das ist auch der wurm drinnen. diese formel kann ich nicht so nehmen. ich brauche eine formel dich nicht V enthält, richtig ? |
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| 25.04.2012, 15:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Extremwertaufgaben Nun nochmal zu Gesamtidee: Wir haben die Funktion V(r,h) = r² * Pi * h . Diese Funktion hat 2 Variablen und über die Nebenbedingung r² * Pi + Pi * 2r * h = 1200 müssen wir eine eliminieren. Da bietet sich die Variable h am besten an, denn r² * Pi + Pi * 2r * h = 1200 läßt sich (wenn man es denn kann) relativ leicht nach h umstellen. |
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| 25.04.2012, 16:24 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Extremwertaufgaben ok...ich probiere es nochmal r² * Pi + Pi * 2r * h = 1200 das ist unsere hilfsfunktion... diese nach h umstellen wenn ich h nach rechts/links bringen will, also so dass h alleine steht hmmm dann mach ich - r² * Pi dann sieht es so aus Pi * 2r * h = 1200 - r² * Pi / : Pi 2r * h = 1200 - r² * Pi / Pi (* Pi und : Pi hebt sich gegenseitig auf) also 2r * h = 1200 - r² / : 2r h= 1200 - r² : 2r ( r² :2r , kann man da nicht jeweils 1 r wegstreichen ?) h= 1200 - r : 2 h= 600 - 1/2 r WENN das so richtig ist, dann kann ich h jetzt in V = Pi * 2 * h einsetzen und hätte dann: V = Pi * 2 * (600 - 1/2 r) V = 3769,908 - 3,14159 r hmmmm ich glaube ich habe irgendwo nen fehler drinnen..... |
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| 26.04.2012, 08:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Extremwertaufgaben
Die rechte Seite ist falsch, weil du dort das Distributivgesetz nicht beachtest. |
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| 26.04.2012, 13:05 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
könntest du mi bitte mal die lösung nennen ? mache nun schon seit tagen an der aufgabe rum und morgen sind prüfungen. |
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| 26.04.2012, 13:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry. 1. Was würde dir die Lösung bringen? 2. Vorrechnen tue ich nicht. Dazu habe ich keine Zeit und entspricht auch nicht den Boardregeln. 3. Wenn morgen Prüfung ist und du noch nicht die Distributivregeln kennst, dann wird es allerhöchste Eisenbahn. Vielleicht hättest du den Fehler vermieden, wenn du statt 2r * h = 1200 - r² * Pi / Pi 2r * h = (1200 - r² * Pi) / Pi geschrieben hättest. Im übrigen wäre es geschickter gewesen, wenn du bei Pi * 2r * h = 1200 - r² * Pi sofort ducrh Pi * 2r dividiert hättest. Dann stünde links das gesuchte h und fertig. |
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| 26.04.2012, 14:58 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sorry, ich wollte sagen wie der lösungsweg lautet , nicht das ergebnis. das ergebnis bringt mir nich viel wenn ich den weg nicht kenne. extremwertaufgaben mit nem quader, oder ein zaun um einer fläche sind ok, aber bei dieser wirds schon heftiger. |
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| 26.04.2012, 15:03 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaube, du siehst hier den Wald vor lauter Bäumen nicht. Was im Moment ansteht, ist das Umformen einer Gleichung. Das hat mit Extremwertaufgaben erstmal gar nichts zu tun. |
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| 26.04.2012, 15:34 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok, ich probiere es nochmal. Zielfunktion: V = r² * Pi * h jetzt habe ich noch das hier 1200 = r² * Pi + 2r * Pi * h jetzt muss ich die formel umstellen. nehmen wir mal h. 1200 = r² * Pi + 2r * Pi * h / - r² * Pi 1200 - r² * Pi = 2r * Pi * h / : Pi 1200 - r² = 2r * h / : 2r ( 2r sind doch 2r^1, also kann ich r von r² abziehen, richtig ?) 600 - r = h wenn ich keinen fehler gemacht habe, dann muss ich jetzt folgendes machen: V = r² * Pi * h V = r² * Pi * (600-r) nur wie verrechne ich bei ner "doppelten" multiplikation die klammer ? (r² * 600 + r² * -r) * (1884,954 - Pi*r) (600r² - r²) * (1881,81*r) = V 600 * 1881,81 * r = V hmm iwie merke ich jetzt schon dass ich schon wieder was falsch gemacht habe.... nur wie mache ich es besser ? |
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| 26.04.2012, 15:52 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe dir schon mal gesagt, daß du Klammern setzen oder eben das Distributivgesetz beachten mußt. Richtig ist: 1200 - r² * Pi = 2r * Pi * h / : Pi (1200 - r² * Pi) / Pi = 2r * h |
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| 26.04.2012, 16:02 | Smuji | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
oh, habe das mit der klammer vergessen. (1200 - r² * Pi) / Pi = 2r * h aber jetzt streicht sich trotzdem Pi weg, richtig ? dann sehe es ja so aus (1200 - r²) = 2r * h / : 2r (1200 - r²) : 2r = h / ist das nicht das gleiche wie: (1200 - r²) --------------- 2r^1 dann könnte man doch r mit r² verstreichen und oben hätten wir nur noch einmal r ?!?!? |
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