Trennung der Variablen bei einer inhomogenen DGL

23.04.2012, 15:27

MR_X

Trennung der Variablen bei einer inhomogenen DGL

Meine Frage:
Aufgabe: Ermitteln Sie für das Anfangswertsproblem

$\begin{eqnarray*} (x^{2} + 1)y' +y^{2} + 1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(\sqrt{3})=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

die Lösung mit zugehörigem maximalen Definitionsbereich.
Lösen Sie dabei die DGL durch Trennung der Variablen(Suchen Sie nicht eine homogene DGL auf!). Verwenden Sie die Beziehung $\begin{eqnarray*} tan(\frac{pi}{3}) = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Beachten Sie bei der Findung des maximalen Definitionsbereichs die Polstellen des Tangens sowie den Wertebereich des Arcustangens.

Meine Ideen:
Ich bin neu in dem Gebiet und nun total verwirrt von der Aussage, dass ich keine homogene DGL aufsuchen soll. Nun ja. Habe einfach mal stur angefangen mit der Trennung der Variablen der homogenen Gleichung.

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \frac{-y^{2}}{x^{2}+1}<br /> \frac{-1}{y^2} dy = \frac{dx}{x^2+1} \end{eqnarray*}$
Hier das Integral darüber:
$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{y}|=arctan(x)+c<br /> |y|=\frac{1}{arctan(x)+c} \end{eqnarray*}$

Hier bleibe ich stecken.
Wie kann ich hier den maximalen Definitionsbereich der Lösung ablesen?
Nach was löse ich auf, wenn ich den Anfangswert einsetze?
Muss ich im Anschluss noch die Variation der Konstanten machen um die inhomogene Lösung zu finden und wenn ja, wie ist der Ansatz dafür?

23.04.2012, 18:05

Mulder

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RE: Trennung der Variablen bei einer inhomogenen DGL

Zitat:

Original von MR_X
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \frac{-y^{2}}{x^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Das ist schon falsch. Du hast hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x^{2} + 1)y' +y^{2} \color{red} +1 \color{black} = 0 \end{eqnarray*}$

diese +1 einfach unterschlagen. Wieso?

Edit: Mit "keine homogene Lösung suchen" ist vermutlich der Hinweis gemeint, dass diese DGL nicht linear ist und Variation der Konstanten daher nicht funktioniert. Trennung der Variablen ist schon richtig, also mach auf diesem Weg weiter. Nur eben richtig. Augenzwinkern

24.04.2012, 17:28

MR_X

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RE: Trennung der Variablen bei einer inhomogenen DGL
Vielen Dank für die Hilfe.

Also $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y^2+1}=\frac{dx}{x^2+1} \end{eqnarray*}$
Dann das Integral gibt
$\begin{eqnarray*} arctan(y)=arctan(x)+c<br /> y=tan(arctan(x)+c) \end{eqnarray*}$

Kann ich dann jetzt schon den Anfangswert einsetzen?
Also $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}=tan(arctan(\sqrt{3})+c) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=arctan(\sqrt{3})-arctan(\sqrt{3})=0 \end{eqnarray*}$

Dann brauch ich ja den Tip aus der Aufgabenstellung garnicht mehr. Kommt mir spanisch vor.

24.04.2012, 17:49

Mulder

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RE: Trennung der Variablen bei einer inhomogenen DGL

Zitat:

Original von MR_X
Also $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y^2+1}=\frac{dx}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Das stimmt wieder nicht, dieses Mal hast du Vorzeichenfehler drin.

Zum Überprüfen kann man ja auch immer mal in die DGL einsetzen. Deine Lösung wäre jetzt ja einfach y=x und diese Funktion erfüllt die DGL ja gar nicht.

24.04.2012, 18:06

MR_X

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RE: Trennung der Variablen bei einer inhomogenen DGL
Ohh damm, ich muss aufhören im Kopf zu rechnen.

Also $\begin{eqnarray*} c=2 * arctan(\sqrt{3})=\frac{2*pi}{3} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} y(x)=tan(arctan(x)+\frac{2*pi}{3}) \end{eqnarray*}$
???

Wie gebe ich denn jetzt den Definitionsbereich der Lösung an?
Ist da der Defbereich von c gefragt?

24.04.2012, 18:14

Mulder

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RE: Trennung der Variablen bei einer inhomogenen DGL
Stimmt wieder nicht. Ich hatte doch gesagt, dass du da einen Vorzeichenfehler drin hast!

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}{1+y^2} = \color{red} - \color{black} \frac{\dd x}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich dann

$\begin{eqnarray*} y = \tan \left ( \frac{2 \pi}{3} \color{red} - \color{black} \arctan(x) \right ) \end{eqnarray*}$

Du suchst nun das maximale Intervall in der Umgebung um $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , für die deine Funktion definiert ist. Der Tangens ist ja nicht für alle x definiert. Es steht eigentlich auch alles in der Aufgabenstellung drin, was zu beachten ist (da war jemand freundlich).

25.04.2012, 01:20

MR_X

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RE: Trennung der Variablen bei einer inhomogenen DGL
Cool danke.
Haja. Ich habe den Fehler ja behoben, aber dann in der Lösung vergessen mit abzuschreiben.
Ich hoffe ich geh nicht auf den Geist, weil ich versuche es zu verstehen, aber eine Frage hätte ich noch.
Schreibe ich das dann so?

$\begin{eqnarray*} D_{DGL}=R ohne( \frac{pi}{2}+k*pi) \end{eqnarray*}$

27.04.2012, 10:52

HAL 9000

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Nein, das stimmt ganz und gar nicht. Kann es sein, dass du hier Definitions- und Wertebereich von $\begin{eqnarray*} \arctan(x) \end{eqnarray*}$ gehörig verwechselst?

P.S.: Übrigens dürften viele die über das Tangens-Additionstheorem $\begin{eqnarray*} \tan(u+v) = \frac{\tan(u)+\tan(v)}{1-\tan(u)\tan(v)} \end{eqnarray*}$ gewonnene Lösungs-Vereinfachung

$\begin{eqnarray*} y = \tan\left( \frac{2}{3}\pi - \arctan(x) \right) = \frac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{3}\,x-1} \end{eqnarray*}$

als angenehmer, ja fast notwendig empfinden.

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