sphärische Geometrie: Abstand: Punkt - Punkt / Gerade - Punkt

Neue Frage »

Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
sphärische Geometrie: Abstand: Punkt - Punkt / Gerade - Punkt
Hallo,

für Geographie benötige ich eine Berechnung für den Abstand zwischen einem Punkt und einem weiteren sowie einem Punkt und einer Gerade.

Da ich mit der sphärischen Geometrie noch sehr wenig gemacht habe, ist das einzige was mir eingefallen ist, was mir helfen wird:
- Geraden sind in der sphärischen Geometrie Großkreise, also solche mit maximalen Umfang
- Die Regeln gelten auch von der euklidschen Geometrie, dass z.B. eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig gegeben ist.
- Für das erste Problem, müsste man also einen Großkreis durch die Punkte legen und dann die Länge des Kreisbogens berechnen, dazu gilt aber, so viel ich weiß wie in der euklidschen Geometrie auch, dass man dazu den Winkel (vom Kugelmittelpunkt) braucht.
- Für das zweite Problem könnte man einen weiteren Großkreis durch den Punkt legen, der den ersten Großkreis im rechten Winkel schneidet (so wie aus der euklidschen Geometrie), nur wie weiß ich hier auch nicht, aber es müsste eindeutig sein.

Hoffentlich kann mir jemand helfen, und ich habe noch kein großes Vorwissen auf dem Gebiet.

Vielen Dank
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: sphärische Geometrie: Abstand: Punkt - Punkt / Gerade - Punkt
Ich nehme mal an, dass die Punkte durch ihre geographischen Koordinaten (Längengrad) und (Breitengrad) gegeben sind. Dann kannst du die Vektoren zu den Punkten z. B. ausdrücken als:



Die Formeln hängen natürlich davon ab, wie man das kartesische Kordinatensystem orientiert. Für die Rechnungen kannst du r = 1 setzen. Ist das Ergebnis einer Rechnung ein Abstand, kannst du zum Schluss der Rechnung mit r multiplizieren.

Der Winkel zwischen 2 Punkten und ergibt sich jetzt ganz normal aus dem Skalarprodukt . Der Normalenvektor zu dem Großkreis durch die beiden Punkte ist . Die Gleichung des Großkreises lautet .

Der Normalenvektor zu einem Großkreis durch , der auf dem anderen Großkreis senkrecht steht, erfüllt die Gleichungen



aus denen sich bestimmen lässt. Die beiden Schnittpunkte der beiden Großkreise ergeben sich aus den Großkreisgleichungen



Wenn du die Schnittpunkte hast, kannst du, wie oben beschrieben, die Winkel und damit die Entfernungen zu bestimmen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: sphärische Geometrie: Abstand: Punkt - Punkt / Gerade - Punkt
Hallo.

Es hat einige Zeit gebraucht, bis ich alles nachvollziehen konnte, war mir nun eine sehr große Hilfe.
Danke sehr dafür!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »