Limes in konvergente unendliche Summe

23.04.2012, 16:50	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes in konvergente unendliche Summe Meine Frage: Ich will nur wissen ob ich einen Limes in eine unendliche Summe reinziehen darf, also ob folgende Gleichheit gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{m \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^{\infty} x_{m,n}= \sum_{n=1}^{\infty} \lim_{m \rightarrow \infty}x_{m,n} \end{eqnarray}$ wobei als Vorraussetzung gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} x_{m,n} < \infty \end{eqnarray}$ Ich weiss dass das mit dem Vertauschen von Limites nicht so einfach ist, aber geht das hier? Meine Ideen: Ich denke dass es okay ist, denn die Summe divergiert nicht. Viele Gruesse, chris
23.04.2012, 17:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel lässt sich leicht angeben.
23.04.2012, 17:46	chris95555	Auf diesen Beitrag antworten »
Gilt es falls $\begin{eqnarray} \lim_{m\rightarrow \infty} x_{m,n}<\infty \end{eqnarray}$ ?
23.04.2012, 17:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, hier mal ein mögliches Gegenbeispiel: Nehmen wir eine x-beliebige konvergente Reihe $\begin{eqnarray} A=\sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray}$ mit Reihenwert $\begin{eqnarray} A\neq 0 \end{eqnarray}$ und betrachten dazu die Doppelfolge $\begin{eqnarray} x_{m,n} = \begin{cases} a_{n-m} & \;\mbox{für}\; n>m \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ . Dann ist für festes $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} x_{m,n} = \sum_{n=m+1}^{\infty} a_{n-m} = \sum_{k=1}^{\infty} a_k = A \end{eqnarray}$ also auch $\begin{eqnarray} \lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} x_{m,n} = A \end{eqnarray}$ . Andererseits ist aber $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \lim_{m\to\infty} x_{m,n} = \sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0 \end{eqnarray}$ .
23.04.2012, 22:29	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, Danke

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