Stochastik, Anordnen von Lampen, defekte Lampen dürfen nicht nebeneinander sein
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23.04.2012, 18:52 a_b_c Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastik, Anordnen von Lampen, defekte Lampen dürfen nicht nebeneinander sein
Meine Frage:
Hallo liebe Community,
ich habe folgende Aufgabe (etwas abgewandelte Aufgabe von einer Abiturprüfungsaufgabe):

Man hat 20 Lämpchen, die man in einer Lichterkette anordnen will. 5 davon sind kaputt. Auf wieviele Arten können sie sich aneinandergeordnet werden, wenn:
a) keine Bedingungen vorliegen,
b) die defekten Lämpchen nicht nebeneinander liegen sollen?

a) müsste (20 über 5) sein, aber habt ihr eine Ahnung, wie man b) berechnet?

Meine Ideen:
Eigene Ansätze hätte ich momentan nicht, ich denke irgend etwas mit (20 über 5) - a - b - c - d - e

wobei a - Möglichkeiten des Zusammenliegens aller 5 Lämpchen: 20-5+1 = 16
b - Möglichkeiten des Zusammenliegens von 4 Lämpchen: 20-4+1 = 17

aber bei b müssen noch die Möglichkeiten von a abgezogen werden, also... hä?
Irgendwie weiß ich nicht so recht, wie ich das machen soll...
23.04.2012, 18:59 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die geforderten Anzahlberechnungen gilt es vorab eine wichtige Frage zu klären.

Sollen die 20 Lämpchen einander unterscheidbar sein - oder sind die 15 intakten untereinander, sowie die 5 defekten untereinander ununterscheidbar?
23.04.2012, 19:03 a_b_c Auf diesen Beitrag antworten »

Sie sind sonst nicht unterscheidbar. Also nur unterscheidbar durch kaputt oder ganz.
23.04.2012, 19:15 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann...

Zitat:
Original von a_b_c
Eigene Ansätze hätte ich momentan nicht, ich denke irgend etwas mit (20 über 5) - a - b - c - d - e

Die Antwort ist richtig für a). Und das mit der Subtraktion - a - b - c -d - e, denkst du da schon an b) ? verwirrt

EDIT: Ach ja, steht ja drüber, hatte ich überlesen.
24.04.2012, 10:59 a_b_c Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und ist die maximal mögliche Anzahl davon. a, b, c, ... sind dann die Möglichkeiten, die abgezogen werden, wobei a dann 5 Lämpchen zusammen sind und bei b 4, bei c 3 und d 2. e ist falsch, das müsste weg.

Aber ich muss a, b und c nicht berechnen, oder? Ist ja schon in d enthalten. Also müsste ich bloß... diese Möglichkeiten zusammenrechnen und das wären... Wie berechnet man das?
24.04.2012, 11:08 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei deiner Methode des Entfernens der "lästigen" Anordnungen gibt es eine Menge zu beachten: Da können nur zwei defekte Lämpchen benachbart sein, aber auch einmal 2 und einmal 3 Lämpchen benachbart sein und und und ... eklig in der Berechnung.

Ich schlage einen anderen Weg vor: Zwischen zwei defekten Lämpchen muss ja bei b) mindestens ein intaktes Lämpchen sein. D.h. nach jedem defekten Lämpchen (mit Ausnahme des letzten) folgt sicher ein intaktes Lämpchen. Wir nehmen nun diese vier intakten Lämpchen aus dem Spiel, d.h. wir betrachten alle Anordnungen, wie man 5 defekte Lämpchen frei (also ohne Bedingungen) auf 20-4=16 Positionen verteilen kann.

Diese Anordnungen kann man nämlich nun eineindeutig (bijektiv) den Anordnungen aus b) zuordnen, was zu einer Anzahlgleichheit führt.
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24.04.2012, 11:30 a_b_c Auf diesen Beitrag antworten »

Mh, ich komme immer noch nicht klar. Also wir tun so, als wären jeweils 1 kaputte und 1 ganze insgesamt eine kaputte Lampe. Also noch 16 Lampen und 5 kaputte Lampen. Also ? Und damit - ? Muss man die Reihenfolge der "Speziallampen" beachten?
24.04.2012, 11:39 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von a_b_c
Und damit - ?

Du hast die Idee offenbar nicht verstanden. unglücklich

Die Antwort bei b) lautet nur , nicht diese deine Differenz!
24.04.2012, 14:20 Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Die Antwort bei b) lautet nur , nicht diese deine Differenz!

Rekursiv könnte man das auch so lösen

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:

A:=proc(n,k)
   option remember;
   if k=1 then return n end if;
   if n=k then return 0 end if;
   A(n-1,k)+A(n-2,k-1) 
end:

A(20,5);
                               4368

wenngleich das jetzt nicht schnell erkennbar auf eine Formel führt und daher keine echte Alternative darstellt... Augenzwinkern
24.04.2012, 14:36 a_b_c Auf diesen Beitrag antworten »

Achso... Ich hab gedacht... SO EINFACH?!?

Ok... naja, ich denke, so eine schwere Aufgabe kommt eh nicht in der Abiturprüfung dran, da kommt eher eine in der Art wie die Originalaufgabe (hier) dran und die kann ich.
Die Aufgabe von dort kann man auch nach dem Prinzip lösen ( = 36), aber da ist es auch möglich mit einfachen Abzählen aller Möglichkeiten xD
Die rekursive Funktion werde ich mir noch zu Gemüte ziehen, aber erst wenn die Prüfung vorbei ist.

Vielen Dank für die Hilfe.
24.04.2012, 22:44 Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von a_b_c
Ok... naja, ich denke, so eine schwere Aufgabe kommt eh nicht in der Abiturprüfung dran[...]

Wenn man den "Trick", den HAL 9000 hier vorgeführt hat, einmal verstanden hat, sind weitere Aufgaben dieser Art nicht mehr wirklich schwer... Augenzwinkern

Zitat:
Original von a_b_c
Die rekursive Funktion werde ich mir noch zu Gemüte ziehen, aber erst wenn die Prüfung vorbei ist.

Die rekursive Beziehung ist leicht zu verstehen: Die Anzahl A(n,k) aller Möglichkeiten, n Lämpchen zu reihen, wobei genau k Lämpchen defekt sind und niemals zwei defekte Lämpchen benachbar sein dürfen, setzt sich zusammen aus der Anzahl A(n-1,k) aller derartigen Möglichkeiten, wobei das letzte Lämpchen in Ordnung ist und der Anzahl A(n-2,k-1) aller derartigen Möglichkeiten, wobei das letzte Lämpchen kaputt und daher das vorletzte (so es eines gibt!) in Ordnung ist... Wichtig sind dann noch die Rekursionsanfänge wie im Programm, wobei der Fall n=k=1 in Zeile 4 durch den Fall k=1 in Zeile 3 "overruled" wird...
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