Basis, Rang, surjektiv

23.01.2007, 23:28

informatikmaus

Basis, Rang, surjektiv

Hallo an alle

Ich habe die liniearen Abbildungen f und g.

$\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,2x_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_2,x_3+x_4) \end{eqnarray*}$

Nun habe ich zu f und g folgenden Kern ermittelt, ist dies richtig?

ker f={a(1,-1,0) a Elemet R}

ker g={a(1,1,0,0),b(0,0,1,-1) a,b Element R}

Nun meine Fragen:

Ich soll jetzt jeweils eine Basis vom Kern von f und g angeben. Aber ist das nicht schon der Kern den ich da stehen habe?

Oder soll ich den Kern eher so schreiben: ker f:{(a,-a,0) a Element R} und dann ist die Basis zum Kern a(1,-1,0)?

Könnte mir jemand das bitte erklären?

Dann komme ich in der Aufabe nicht weiter. Ich soll den Rang von f und g angeben. Dafür brauche ich die Dimension vom Kern und von dem Vektoraum und dann ist Rang = dim V - dim Kern

Ist dim Kern f = 1 und dim Kern g = 2? Da wir bei f einen und bei g zwei Vektoren haben? aber was ist dann dim V?

Und als letztes ist noch gefragt ob f bzw g surjektiv ist und warum. Ich weiss dass $\begin{eqnarray*} (f(v_1),...,f(v_n)) \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von W sein muss wenn f surjektiv ist. Aber wie sehe oder überprüfe ich das?

Vielen Dank für eure Hilfe

24.01.2007, 09:01

Mazze

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Zitat:

ker f={a(1,-1,0) a Elemet R}

Wenn Du wirklich $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,2x_2) \end{eqnarray*}$ meinst dann ist der obige Kern falsch, wenn Du aber $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,2x_3) \end{eqnarray*}$ meinst, ist obiger Kern richtig.

Der Kern von g ist soweit richtig.

Zitat:

Ich soll jetzt jeweils eine Basis vom Kern von f und g angeben. Aber ist das nicht schon der Kern den ich da stehen habe?

Oder soll ich den Kern eher so schreiben: ker f:{(a,-a,0) a Element R} und dann ist die Basis zum Kern a(1,-1,0)?

Könnte mir jemand das bitte erklären?

Wie ihr die Basis definiert habt so schreibt ihr es auf. Eine Basis ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge Deiner Vektoren im Kern. Und die ahst Du ja schon. Man schreibt auch gern für die Basis B

$\begin{eqnarray*} B = \{v_1,v_2,...,v_n\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ist dim Kern f = 1 und dim Kern g = 2? Da wir bei f einen und bei g zwei Vektoren haben? aber was ist dann dim V?

Die Dimension eines VR ist die Anzahl der Basisvektoren, wenn Du die Basen richtig angegeben hast in der Aufgabe davor musst Du eifnach nur zählen Augenzwinkern

. Und die Dimension deines Urbildraumes ist 3 und die deines Bidlraumes ist 2.

Zitat:

Und als letztes ist noch gefragt ob f bzw g surjektiv ist und warum. Aber wie sehe oder überprüfe ich das?

Deine $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ sind die Basisvektoren des Urbildraums, nehm dir diese 3 und bilde sie ab und schau nach ob da ein Erzeugendensystem rauskommt (das heißt ob Du da eine Basis des R² drin findest).

24.01.2007, 09:02

klarsoweit

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RE: Basis, Rang, surjektiv

Zitat:

Original von informatikmaus
Nun habe ich zu f und g folgenden Kern ermittelt, ist dies richtig?

ker f={a(1,-1,0) a Elemet R}

ker g={a(1,1,0,0),b(0,0,1,-1) a,b Element R}

Bei Ker(f) fehlt was. Auf was wird z.B. (0,0,1) abgebildet? Augenzwinkern

Bei ker(g) ist die Schreibweise unsauber. Richtig wäre:
ker(g) = {a(1,1,0,0) + b(0,0,1,-1) mit a,b Element R}

Die Vektoren hinter den Linearfaktoren a bzw. a und b sind dann die Basisvektoren.

EDIT: hatte es mir gleich geadcht, daß Mazze schneller ist. traurig

24.01.2007, 18:37

informatikmaus

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Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

ker f={a(1,-1,0) a Elemet R}

das stimmt, ich habe mich da vertippt.

Zitat:

Ist dim Kern f = 1 und dim Kern g = 2? Da wir bei f einen und bei g zwei Vektoren haben? aber was ist dann dim V?

Zitat:

Die Dimension eines VR ist die Anzahl der Basisvektoren, wenn Du die Basen richtig angegeben hast in der Aufgabe davor musst Du eifnach nur zählen Augenzwinkern

. Und die Dimension deines Urbildraumes ist 3 und die deines Bidlraumes ist 2.

hat g dann zwei Basisvektoren? (1,1,0,0) + (0,0,1,-1) ? Dim 2?

und zur Berechnung des Rangs brauche ich die Basisvektoren des Urbildraums?

Zitat:

Und als letztes ist noch gefragt ob f bzw g surjektiv ist und warum. Aber wie sehe oder überprüfe ich das?

Deine $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ sind die Basisvektoren des Urbildraums, nehm dir diese 3 und bilde sie ab und schau nach ob da ein Erzeugendensystem rauskommt (das heißt ob Du da eine Basis des R² drin findest).

da muss ich noachlrüber nachdenken...

aber vielen Danke schonmal für die Mühe und gute Hilfe smile

24.01.2007, 18:40

informatikmaus

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RE: Basis, Rang, surjektiv
danke für die Hilfe smile

Zitat:

Original von klarsoweit
[quote]Original von informatikmaus
Nun habe ich zu f und g folgenden Kern ermittelt, ist dies richtig?

ker f={a(1,-1,0) a Elemet R}

Bei Ker(f) fehlt was. Auf was wird z.B. (0,0,1) abgebildet? Augenzwinkern

ich muss irgendwie noch die 2 berüchsichtigen? weiss aber ncht wie....

25.01.2007, 08:51

klarsoweit

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RE: Basis, Rang, surjektiv
Wie schon gesagt wurde:
Wenn $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,2x_3) \end{eqnarray*}$ deine Abbildung ist, dann ist dein Kern richtig. Auf welche Weise bzw. wieso willst du da noch die 2 berücksichtigen? verwirrt

25.01.2007, 09:47

informatikmaus

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ja das habe ich jetzt auch gemerkt...

ich weiss aber immer noch nicht wie ich sehe ob sie surkektiv sind oder nicht und warum verwirrt

25.01.2007, 10:03

klarsoweit

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Deine Abbildungen gehen doch in den R². Jetzt mußt du schauen, ob du da alle Elemente irgendwann "erwischst". Dazu reicht es, wenn du die Bilder der Basisvektoren aus dem Urbildraum nimmst und prüfst, ob diese Bilder den R² aufspannen.

25.01.2007, 10:22

informatikmaus

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also ist zum Beispiel f surjektiv, weil

die Basis (1,-1,0) auch als Linearkombination von w = (a*x1,a*x2,a*x3) also w=(a*1, a*-1, a*0) darstellen kann?

25.01.2007, 10:51

klarsoweit

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Nein. Da hast du was mißverstanden. Es geht nicht um die Basis des Kerns, sondern um die Basis des Raums, in dem deine Funktion startet.

Surjektivität bedeutet doch folgendes:
f: V --> W ist surjektiv genau dann, wenn es zu jedem w aus W ein v aus V gibt mit f(v) = w.

25.01.2007, 17:57

sascha_the_king

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muss es nicht "mindestens ein" heißen?!

25.01.2007, 19:53

klarsoweit

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Nun ja. Das Wörtchen "ein" im Zusammenhang mit dem Verb "gibt" beinhaltet das implizit. Ansonsten würde man den Ausdruck "genau ein" verwenden.

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Basis, Rang, surjektiv

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