Dreiecksungleichung

23.04.2012, 21:23

fleurita

Dreiecksungleichung

Meine Frage:
hey smile

ich mag bei $\begin{eqnarray*} d\Big((a_n),(b_n)\Big):=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{|a_k-b_k|}{2^i(1+|a_k-b_k|)} \end{eqnarray*}$ die dreiecksungsgleichung beweisen (also beweisen, dass es eine metrik ist)

$\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ sind reele folgen

Meine Ideen:
ich hab schon bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} d\Big((a_n),(b_n)\Big) \end{eqnarray*}$ konvergent ist, aber ich bekomms nicht hin mit der dreiecksungleichung :-(

23.04.2012, 21:32

HAL 9000

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Die Dreiecksungleichung folgt doch aus der Hilfsaussage

$\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{1+|x|} + \frac{|y|}{1+|y|} \geq \frac{|x+y|}{1+|x+y|} \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ,

die man natürlich auch noch begründen sollte.

P.S.: In deinem Reihenglied sollte $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 2^i \end{eqnarray*}$ im Nenner stehen.

23.04.2012, 21:54

fleurita

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dankeschön, ich hab deine hilfsaussage grad selber bewiesen smile

Ich dachte mir dann auch, dass ich dann von der rechten seite her den beweis der dreiecksungleichung führen muss.

Dann mach ich das mal. Vielen lieben dank Blumen

ich hoff ich brauch keine hilfe bei dem rest!

23.04.2012, 22:22

fleurita

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grrrrrrrrrrrrr doch noch eine frage...

bei $\begin{eqnarray*} d\Big((a_n),(b_n)\Big)=0\iff (a_n)=(b_n) \end{eqnarray*}$ hab ich nur " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ " geschafft...

wie schaffe ich von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{|a_k-b_k|}{2^k(1+|a_k-b_k|)} =0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (a_n)=(b_n) \end{eqnarray*}$ zu kommen?

23.04.2012, 23:33

Valdas Ivanauskas

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Für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt stets

$\begin{eqnarray*} 2^k(1+|a_k-b_k|)>0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} |a_k-b_k|\geq 0. \end{eqnarray*}$

Wann aber kann die Summe nichtnegativer Summanden Null werden?

24.04.2012, 15:58

euklidis

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Zitat:

ich hab schon bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} d\Big((a_n),(b_n)\Big) \end{eqnarray*}$ konvergent ist

Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ eine Metrik darstellt ist Konvergenz doch egal oder?

25.04.2012, 13:19

fleurita

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bei der dreiecksungleichung hab ich die merik gebraucht.

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