Gebrochen Rationale Funktionen vereinfachen

23.04.2012, 22:03	Laserlight	Auf diesen Beitrag antworten »
Gebrochen Rationale Funktionen vereinfachen Meine Frage: Hey, ich übe gerade für die Abiprüfung am Mittwoch im Grundkurs Mathematik, und da bin ich auf gebrochen rationale Funktionen gestoßen. Und ich möchte jetzt meine Funktion die ich gegeben habe ( s.u.) so UMFORMEN, dass ich sie ableiten kann. D.h. : $\begin{eqnarray} F(x) = -1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^{2} } \end{eqnarray}$ Möchte ich in einen Bruch bringen um die Qutientenregel anzuwenden fürs ableiten. Leider hab ich keine Ahnung vom umstellen/umformen oder vereinfachen von Gleichungen Meine Ideen: Ich weiß das ich einen gemeinsamen Nenner finden muss, nur weiß ich nicht wie?
23.04.2012, 22:05	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum willst du das denn kranpfhaft umformen, um die Quotientenregel anzuwenden? Leite es doch direkt ab, jeden Summanden einzelnen. Das geht schneller und einfacher.
23.04.2012, 22:21	Laserlight	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für die schnelle Antwort. Also ich würde es schon gerne so machen mit einem Nenner, weil ich glaube das eignet sich besser um dann die Extremstellen zu untersuchen etc. Aber ich lasse mich gerne eines besseres belehren Nun leider habe ich nie gelernt anders als mit der Qutientenregel gebrochen r. Funktionen abzuleiten. Wie würde es denn anders aussehen?
23.04.2012, 22:25	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst einmal: du kannst ja auch auf die einzelnen Summanden die Quotientenregel anwenden, $\begin{eqnarray} \frac 6x \end{eqnarray}$ ist ja auch ein Bruch, die Quotientenregel kann angewendet werden. Einfacher ist es aber über eine Umformung mit den Potenzgesetzen: $\begin{eqnarray} \frac a{x^n}=a\cdot x^{-n} \end{eqnarray}$ , du kannst also das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus dem Nenner in den Zähler holen und dann mit den bekannten Regeln ableiten (Exponent als Faktor nach vorne ziehen und um 1 verringern...).
23.04.2012, 22:44	Laserlight	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann würde das ja so gehen : $\begin{eqnarray} 6x^{-1} +5x^{-2} -1 \end{eqnarray}$ Das wäre meine "umgeformte" Gleichung nach Potensgesetzen Ableitung wäre : $\begin{eqnarray} -6x^{-2}+10x^{-3} \end{eqnarray}$ -1 oder?^^ Könntest du mir trozdem erklären wie ich auf so eine "alternate form" von wolfram alpha komme? KLICK Oder zumindest einen Ansatz geben? Da ich hier sofort Nullstellen / Polstellen berechnen kann.
23.04.2012, 22:49	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ableitung stimmt noch nicht ganz. Du hast einen Vorzeichenfehler bei den $\begin{eqnarray} 10x^{-3} \end{eqnarray}$ . Außerdem: was passiert mit der $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ , wenn du die Funktion ableitest? Danach kannst du das übrigens wieder umformen und als Bruch darstellen, wenn du willst. Zum umformen: wie lautet denn der gemeinsame Nenner? Erweitere die Brüche entsprechend, dann kann man sie zusammenfassen.
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23.04.2012, 22:59	Laserlight	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar stimmt, die 5 ist ja positiv deshalb wird sie negativ und die -1 fehlt weg. Okay danke. Umformen: und genau da liegt mein verständiß oder rechnungsproblem. Ich weiß nicht wie man einen gemeinsamen nenner bildet Das mit dem Erweitern ist mir völlig schleierhaft... Muss ich da irgendwie die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ jeweils im Zähler des anderen nenners multiplizieren oder so etwas? EDIT: So hab nochmal nachgedacht( dank deinem Tipp mit dem erweitern): Um die Grundfunktion $\begin{eqnarray} -1 + \frac{6}{x} -\frac{5}{x^{2} } \end{eqnarray}$ zusammenzufassen "erweitert" man mit dem jeweiligen gegenüberliegenden Nennerwert richtig? Also so : $\begin{eqnarray} \frac{6x^{2} }{xx^{2}} - \frac{5x}{x^{2}x } -1 \end{eqnarray}$ Dann kann man es ja in einen Bruch schreiben : $\begin{eqnarray} \frac{6x^{2}-5x }{x^{3} } \end{eqnarray}$ Aber bei Wolframalpha ( sorry das ich darauf so beharre aber das muss ja irgendwie stimmen) ist es nur ein : $\begin{eqnarray} \frac{6x^{1}-5 }{x^{2} } \end{eqnarray}$ also gekürzt. Aber hier darf man doch nicht kürzen oder? Wegen Summe? Oder kürzen die in dem Schritt davor, wo es noch getrennte Brüche sind? EDIT2: Vorzeichenfehler beseitigt
23.04.2012, 23:04	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Hauptnenner bzw. einen gemeinsamen Nenner von Brüchen zu bestimmen und zu erweitern solltest du aber eigentlich können, wenn du dich mit der Ableitung gebrochen-rationaler Funktionen beschäftigst. Lies dich am besten erst einmal hier ein, danach kann man dann mal gucken, wie man das auf die Brüche mit Variablen im Nenner übertragen kann.

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