Cauchyscher Integralsatz

24.01.2007, 00:01	ebbelwoi	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchyscher Integralsatz Hallo zusammen, da ich nicht schon wieder meinen Übungsleiter nerven will, ich habe hier ein Rechenproblem: Berechne das Wegintegral: $\begin{eqnarray} \int_{\|z-2i\| = 2}\frac{1}{z^2+4} \end{eqnarray}$ außerdem kann ich noch umschreiben: $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^2+4} = \frac{1}{z-2i}\frac{1}{z+2i}=\frac{1}{\frac{z-2i}{z+2i}} \end{eqnarray}$ So weit so gut ... als Weg ergibt sich ja klarerweise: $\begin{eqnarray} z(t) = 2i + 2e^{it} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \frac{dz}{dt} = 2ie^{it} \end{eqnarray}$ jetzt alles eingesetzt erhält man doch $\begin{eqnarray} \int^{2\pi}_{0}\frac{\frac{e^{-it}}{2}}{4i+2e^{it}}2ie^{it}dt \end{eqnarray}$ dran herumgefummellt kriege ich: $\begin{eqnarray} \frac{i}{2}\int^{2\pi}_{0}\frac{1}{2i+e^{it}}dt \end{eqnarray}$ Meine Frage: Wie löse ich dieses Integral, oder was hab ich mit dem Cauchyschen Integralsatz falsch bzw. nicht gemacht? Gruß ebbelwoi
24.01.2007, 06:08	Luki__	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würds so machen: Integrand umformen $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^2+4}=\frac{f(z)}{z-2i} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(z):=\frac{1}{z+2i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ ist holomorph auf der Scheibe $\begin{eqnarray} U_3(2i) \end{eqnarray}$ , der Weg $\begin{eqnarray} z(t) \end{eqnarray}$ aus deinem Post verläuft ganz in dieser Scheibe. Daher können wir die Cauchy'sche Integralformel anwenden: $\begin{eqnarray} \int_{z(t)}\frac{f(z)}{z-2i}dz=2\pi i \cdot f(2i)=2 \pi i \cdot \frac{1}{4i}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ Hoffe das stimmt so und ich hab dich nicht verwirrt. Da fällt mir glatt dieser Comic dazu ein.
24.01.2007, 07:41	ebbelwoi	Auf diesen Beitrag antworten »
Jau, das hab ich irgendwo schon mal so gesehen ... ich schau's mir mal an, wenn ich dann noch fragen habe melde ich mich! DANKE
24.01.2007, 17:10	ebbelwoi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie habe ich mein f(z) zu wählen bzw. was hab ich zu machen bei gleichem Weg, aber $\begin{eqnarray} \int\frac{1}{(z^2+4)^2}dz \end{eqnarray}$ ???
24.01.2007, 21:05	Luki__	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(z):=\frac{1}{(z^2+4)^2}=\frac{1}{(z+2i)^2(z-2i)^2} \end{eqnarray}$ hat an $\begin{eqnarray} 2i,-2i \end{eqnarray}$ jeweils Polstellen der Ordnung 2. Da der betrachtete Weg $\begin{eqnarray} z(t) \end{eqnarray}$ die Polstelle $\begin{eqnarray} 2i \end{eqnarray}$ umläuft, kann man diesen Integranden zwar nicht mehr auf eine geeignete Form für die Cauchy'sche Integralformel bringen, aber es gibt da ja noch den Residuensatz: Wir wählen als Gebiet wiederum $\begin{eqnarray} U_3(2i) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist nun holomorph in $\begin{eqnarray} U_3(2i)\backslash \{ 2i\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z(t) \end{eqnarray}$ nullhomolog in $\begin{eqnarray} U_3(2i) \end{eqnarray}$ . Nach dem Residuensatz gilt: $\begin{eqnarray} \int_{z(t)}f(z)dz=2\pi i\cdot ind(z,2i)\cdot Res(f,2i) \end{eqnarray}$ Windungszahl (auch Umlaufzahl genannt) $\begin{eqnarray} ind(z,2i)=1 \end{eqnarray}$ Residuum $\begin{eqnarray} Res(f,2i)=\frac{1}{(2-1)!}lim_{z\rightarrow 2i}\frac{\partial^{2-1}}{\partial z^{2-1}}(z-2i)^2 f(z)=lim_{z\rightarrow 2i}-\frac{2}{(z+2i)^3}=\frac{1}{32i} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \int_{z(t)}f(z)dz=2\pi i \cdot \frac{1}{32i}=\frac{\pi}{16} \end{eqnarray}$

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