Rekrusive Folge - Konvergenz beweisen

24.04.2012, 10:18

BatistaVK

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Rekrusive Folge - Konvergenz beweisen

Hallo,

ich stehe wieder vor einer Rekrusive Folge und komme bei meiner Rechnung nicht so weiter.

Ich sehe bei meiner Rechnung das ich meine gefundene und auch gezeigte Untere Schranke einsetzen muss, nur weiß es nicht wie. Hier mal meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} C_{1}=2 , C_{n+1}= \frac{3}{4-C_{n}} \end{eqnarray*}$

Die ersten Folgen, bis $\begin{eqnarray*} C_{3} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} C_{1}= 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_{2}= \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_{3}= \frac{6}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \longrightarrow \end{eqnarray*}$ Vermutung: Monoton Fallend

Also muss es, falls $\begin{eqnarray*} C_{n} \in N \end{eqnarray*}$ überhaupt einen Grenzwert hat, gelten:

$\begin{eqnarray*} n \longrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow C_{n}=C_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow C_{n}= \frac{3}{4-C_{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C = 1 \end{eqnarray*}$

Behautpung: 1 eine Untere Schranke.

Beweis:
IA. : $\begin{eqnarray*} C_{1}= 2> 1 \end{eqnarray*}$

IV. : Gilt für alle n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N, $\begin{eqnarray*} C_{n} > 1 \end{eqnarray*}$

IS. :

$\begin{eqnarray*} C_{n+1} -1 > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4-C_{n}} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {C_{n}-1}{4- C_{n}} > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow C_{n} -1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ Wegen IV !

q.e.d

So, jetzt zu meinem Problem, zeigen der Monotonie: Vermtung Monoton Fallend

Ich spare hierbei den IA, weil es trivial ist,

IV: Es gilt für ein festes n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N, $\begin{eqnarray*} 2 \geq n \geq 1 \end{eqnarray*}$

IS: $\begin{eqnarray*} C_{n+1} - C_{n} < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{C²_{n} - 4C_{n} + 3}{4 - C_{n}} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {C²_{n} - 4C_{n} + 3} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (C_{n} - 2)² -1 \leq 0 \end{eqnarray*}$ Wegen IV.

Darf ich hier jetzt die gefundene Unere Schranke einsetzen und zeigen, das die Gleichung gilt? Weiß ab hier nicht mehr weiter.

24.04.2012, 10:37

klarsoweit

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RE: Rekrusive Folge - Konvergenz beweisen

Zitat:

Original von BatistaVK
IS. :

$\begin{eqnarray*} C_{n+1} -1 > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4-C_{n}} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {C_{n}-1}{4- C_{n}} > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow C_{n} -1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ Wegen IV !

Hier mußt du aber sicherstellen, daß 4 - C_n > 0 ist.

Zitat:

Original von BatistaVK
So, jetzt zu meinem Problem, zeigen der Monotonie: Vermtung Monoton Fallend

Ich spare hierbei den IA, weil es trivial ist,

IV: Es gilt für ein festes n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N, $\begin{eqnarray*} 2 \geq n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Das ist nicht die Induktionsvoraussetzung.

Im übrigen könnte auch C=3 ein möglicher Grenzwert sein.

Und bitte sei etwas vorsichtiger in der Benutzung von Äquivalenzpfeilen.

24.04.2012, 10:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von BatistaVK
$\begin{eqnarray*} C_{1}= 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_{2}= \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_{3}= \frac{6}{5} \end{eqnarray*}$

Wenn man geduldig noch zwei, drei weitere Glieder berechnet, könnte man auch auf die explizite Folgenglied-Darstellung

$\begin{eqnarray*} C_n = \frac{3^{n-1}+3}{3^{n-1}+1} \end{eqnarray*}$

kommen und die dann (per vollständiger Induktion) beweisen - aus der folgt dann Konvergenz und Grenzwert der Folge ziemlich leicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2012, 10:51

BatistaVK

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Hallo, danke für die Antwort!

$\begin{eqnarray*} 4 - C_{n} > 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} C_{1} = 2 \end{eqnarray*}$ ist und doch laut IV gilt $\begin{eqnarray*} 2 \geq C_{n} \end{eqnarray*}$ .

Zu deinem Posting zur Monotonie:

Genau das ist ja mein Problem, ich sehe nur, das ich bei der Aufgabe doch unbedingt die Untere Schranke brauche, um die fallende Monotonie zu zeigen. Weiß dann nur nicht, wie die IV dann auszuschauen hat, damit der Beweis gilt. unglücklich

unglücklich

ZU $\begin{eqnarray*} C_{n} \end{eqnarray*}$ da da hast du auch recht, nur wenn man die Folgenglieder anschaut und $\begin{eqnarray*} C_{1}= 2 \end{eqnarray*}$ kann ja nur $\begin{eqnarray*} C = 1 \end{eqnarray*}$ sein. Der Endgültige Beweis folgt dann halt mit der Monotonie.

24.04.2012, 11:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von BatistaVK
$\begin{eqnarray*} 4 - C_{n} > 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} C_{1} = 2 \end{eqnarray*}$ ist und doch laut IV gilt $\begin{eqnarray*} 2 \geq C_{n} \end{eqnarray*}$ .

Nein, die IV ist, daß C_n >= 1 ist. Wo du die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} 2 \geq C_{n} \end{eqnarray*}$ hernehmen willst, ist mir nicht klar.

Zitat:

Original von BatistaVK
Zu deinem Posting zur Monotonie:

Genau das ist ja mein Problem, ich sehe nur, das ich bei der Aufgabe doch unbedingt die Untere Schranke brauche, um die fallende Monotonie zu zeigen. Weiß dann nur nicht, wie die IV dann auszuschauen hat, damit der Beweis gilt. unglücklich

unglücklich

Die IV ist doch im Grunde die Aussage, die man beweisen will. Außerdem solltest du im IS mal hinschreiben, was du da überhaupt zeigen willst.

Merke: es ist für den Leser (und vielleicht auch für einen selbst) immer sehr hilfreich, wenn man mal vorab sagt, wo man überhaupt hin will.

24.04.2012, 11:18

BatistaVK

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Argh, jaaaa, hab mich echt vertippt -_-

IV. ist dann, so wie du es auch geschrieben hast: $\begin{eqnarray*} C_{n} >1 \end{eqnarray*}$

Hm, müsste ich hier dann erst zeigen, das es nach oben durch 2 beschränkt ist? Sonst hab ich ja im Nenner das Proben, dass Cn nicht größer als 2 werden darf, damit die ungleichung gilt.

Mein IS, hab ich doch geschrieben? Ich will halt zeigen, das es monoton fallend ist.

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24.04.2012, 11:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von BatistaVK
Hm, müsste ich hier dann erst zeigen, das es nach oben durch 2 beschränkt ist?

Im Prinzip ja. 3 als obere Schranke würde es auch tun.

Zitat:

Original von BatistaVK
Mein IS, hab ich doch geschrieben? Ich will halt zeigen, das es monoton fallend ist.

Du hast ziemlich kommentarlos geschrieben:

Zitat:

Original von BatistaVK
IS: $\begin{eqnarray*} C_{n+1} - C_{n} < 0 \end{eqnarray*}$

Da wird nicht klar, was das sein soll:
- die im IS zu zeigende Aussage?
- oder die IV?
- oder ...?

Bitte halte dich an die einfachsten formalen Regeln und schreibe auf:

1. Ich möchte die Aussage ... beweisen.
2. Meine IV lautet: ...
3. Im IS möchte ich zeigen, daß gilt: ...

Dann ergibt das auch einen Beweis, den jeder vestehen kann.

25.04.2012, 10:28

BatistaVK

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Das Problem ist, die Schranken hier an dieser Stelle überhaupt zu zeigen, zumindest mit meiner Idee:

Ich will ja zeigen, dass 1 eine untere Schranke darstellt, also mein Induktionsschritt würde lauten:

$\begin{eqnarray*} C_{n+1}>1 \end{eqnarray*}$

Setze nun die Rekursionsvorschrift ein,

$\begin{eqnarray*} C_{n+1}= \frac{3}{4-C_{n}} > 1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Ungleicung jetzt auflöse, klappt es tatsächlich, das gilt

$\begin{eqnarray*} C_{n}>1 \end{eqnarray*}$ .

Somit wäre meine untere Schranke gezeigt.

Das Problem ist, das ich, damit ich den Monotoniebeweis führen kann zu zeigen, das die 2 eine obere Schranke darstellt.

Also müsste hier mein Induktionsschritt wieder lauten

$\begin{eqnarray*} C_{n+1}= \frac{3}{4-C_{n}} < 2 \end{eqnarray*}$

Nur wenn ich das nach dem gleichen Schema wie oben mache, klappt es nicht.

Bin bei der Aufgabe etwas verzweifelt... unglücklich

unglücklich

25.04.2012, 11:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von BatistaVK
Setze nun die Rekursionsvorschrift ein,

$\begin{eqnarray*} C_{n+1}= \frac{3}{4-C_{n}} > 1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Ungleicung jetzt auflöse, klappt es tatsächlich, das gilt

$\begin{eqnarray*} C_{n}>1 \end{eqnarray*}$ .

Somit wäre meine untere Schranke gezeigt.

Das Problem ist, daß du bei der Umformung von $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4-C_n} > 1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 3 > 4-C_n \end{eqnarray*}$ benutzen mußt, daß 4 - C_n > 0 ist. Sonst dreht sich nämlich das Ungleichheitszeichen bei der Multiplikation mit (4 - C_n) um. Also mußt du erstmal zeigen, daß C_n < 4 ist.

Zitat:

Original von BatistaVK
Das Problem ist, das ich, damit ich den Monotoniebeweis führen kann zu zeigen, das die 2 eine obere Schranke darstellt.

Das ist nicht zwingend erforderlich. Zeige, daß C_n <= 3 ist. Der Beweis ist relativ leicht und 3 als Schranke tut es auch.

25.04.2012, 11:41

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von klarsoweit
... und 3 als Schranke tut es auch.

So ist es. Und durch diese Wahl der Schranken folgt die Monotonie ganz einfach direkt.

Zeige also zunächst induktiv folgende Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 1\leq C_n\leq 3\text{ für alle }n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Für den Nachweis der Monotonie nutzt Du dann diese Ungleichung und folgerst:

$\begin{eqnarray*} 1\leq C_n\leq 3\Rightarrow \left(C_n-2\right)^2\leq 1\Rightarrow\ldots \end{eqnarray*}$

und gelangst direkt zur gewünschten Monotonie.

25.04.2012, 12:17

BatistaVK

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Stimmt, die 3 ist ja im Prinzip auch eine obere Schranke, nur nicht die kleinstmögliche....

Okay, dann gehe ich es nochmal an:

Zwei mögliche Schranken:

$\begin{eqnarray*} C=1 V C=3 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} C=3 \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke ist

IA. $\begin{eqnarray*} C_{1}=2<3 \end{eqnarray*}$

IV. Gilt für ein fester n€N, $\begin{eqnarray*} C_{n} < 3 \end{eqnarray*}$

IS. Zeige das $\begin{eqnarray*} C_{n+1}<3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4-C_{n}} < 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4-C_{n}>0 \end{eqnarray*}$ , wegen der Induktionsvorraussetzung

Also: gilt

q.e.d

Zeige, das 1 eine untere Schranke darstellt:

Die rechnung ist ja oben, nur ich möchte das aufgreifen, was klarsoweit, geschrieben hat.

Das $\begin{eqnarray*} C_{n}> 4 \end{eqnarray*}$ ist, ist doch schon damit gezeigt, das $\begin{eqnarray*} C_{n}<3 \end{eqnarray*}$ ist und somit klappt auch die Umformung.

Mit diesen beiden geziegten Schranken, ist die Monotonie tatsächlich relativ einfach zu zeigen, hoffe das meine Überlung oben richtig ist.

25.04.2012, 12:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von BatistaVK
Also: gilt

q.e.d

Fehlt hier nicht etwas?

Zitat:

Original von BatistaVK
Das $\begin{eqnarray*} C_{n}> 4 \end{eqnarray*}$ ist, ist doch schon damit gezeigt, das $\begin{eqnarray*} C_{n}<3 \end{eqnarray*}$ ist und somit klappt auch die Umformung.

Richtig ist, daß $\begin{eqnarray*} C_n < 4 \end{eqnarray*}$ ist wegen $\begin{eqnarray*} C_n<3 \end{eqnarray*}$ . smile

smile

25.04.2012, 12:34

BatistaVK

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Oh mann... da fehlt auf jeden fall was xD

$\begin{eqnarray*} C_{n+1} < 3 \end{eqnarray*}$

Und jaaa... hab ungleichheitszeichen falsch gewählt. smile

smile

Danke für die Hilfe... man kann es sich viel schwerer machen als es in wirklichkeit ist.^^ smile

smile

25.04.2012, 12:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von BatistaVK
Oh mann... da fehlt auf jeden fall was xD

$\begin{eqnarray*} C_{n+1} < 3 \end{eqnarray*}$

Nun ja, ein bißchen mehr Rechnung würde ich schon erwarten. smile

smile

25.04.2012, 12:52

BatistaVK

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$\begin{eqnarray*} C_{n+1}<3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C_{n+1}=\frac{3}{4-C_{n}}<3 \end{eqnarray*}$

Laut Induktionsvorraussetzung gilt:

$\begin{eqnarray*} C_{n}<3 \end{eqnarray*}$

Somit:

$\begin{eqnarray*} 3<12-3C_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -9<-3C_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3>C_{n+1} \end{eqnarray*}$

q.e.d

So? Big Laugh

Big Laugh

25.04.2012, 13:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von BatistaVK
$\begin{eqnarray*} -9<-3C_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3>C_{n+1} \end{eqnarray*}$

Hier muß es aber dann $\begin{eqnarray*} 3 > C_n \end{eqnarray*}$ heißen, was eine kleine Poblematik in der Beweisführung aufzeigt: du brauchst Äquivalenzumformungen.

Besser ist, den Beweis so zu führen:

$\begin{eqnarray*} 3 > C_n \end{eqnarray*}$ laut IV.
==>
$\begin{eqnarray*} -9 < -3*C_n \Rightarrow 3 < 12 - 3*C_n = 3 \cdot (4 - C_n) \Rightarrow C_{n+1} = \frac{3}{4-C_n} < 3 \end{eqnarray*}$

25.04.2012, 13:02

BatistaVK

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Japs, wusste nicht wie der Tex-Befehl dazu ist.

Vielen Dank für deine Zeit und Hilfe. smile

smile

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