Superposition harmonischer Schwingungen

24.04.2012, 10:19

Ploki

Superposition harmonischer Schwingungen

Meine Frage:
Hallo.

[attach]24151[/attach]

Meine Ideen:
Also, es seien f(t) und g(t) harmonische Schwingungen:
$\begin{eqnarray*} f(t)= a\cdot \cos(w\cdot s+\alpha ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(t)= b\cdot \cos(w\cdot s+\beta ) \end{eqnarray*}$

Nun soll ich zeigen, dass das hier auch harmonisch ist:
$\begin{eqnarray*} a\cdot \cos(w\cdot s+\alpha) + b\cdot \cos(w\cdot t+\beta) \end{eqnarray*}$
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Definition: $\begin{eqnarray*} \cos(x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot x} + e^{-i \cdot x} ) \end{eqnarray*}$

Einsetzen: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot (w \cdot s+ \alpha) } + e^{-i \cdot (w \cdot s+ \alpha)} ) + \frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot (w \cdot t+ \beta) } + e^{-i \cdot (w \cdot t+ \beta)} ) \end{eqnarray*}$

Nun komm ich nicht weiter. Bin mir aber auch gar nicht sicher ob es soweit stimmt. Ich bitte um Hilfe smile

l.G. Ploki

24.04.2012, 10:52

Steffen Bühler

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RE: Superposition harmonischer Schwingungen

Zitat:

Original von Ploki
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot (w \cdot s+ \alpha) } + e^{-i \cdot (w \cdot s+ \alpha)} ) + \frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot (w \cdot t+ \beta) } + e^{-i \cdot (w \cdot t+ \beta)} ) \end{eqnarray*}$

Damit haben Deine beiden Cosinusschwingungen aber beide dieselbe Amplitude 1 und nicht, wie verlangt, a bzw. b. Zudem muß statt der Variablen s ebenfalls ein t stehen.

Sonst stimmt's, jetzt kannst Du $\begin{eqnarray*} \frac {e^{i \cdot \omega \cdot t}}2 \end{eqnarray*}$ ausklammern.

Viele Grüße
Steffen

24.04.2012, 11:40

Ehos

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Als Alternative zeige ich dir mal, wie man die Aufgabe ohne komplexe Zahlen lösen könnte:
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Gegeben sind also zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} A\cdot \cos(\omega t+a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\cdot \cos(\omega t+b) \end{eqnarray*}$ mit gleicher Frequenz. Gesucht ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(t)=C\cdot \cos(\omega t+c) \end{eqnarray*}$ derselben Frequenz, welche die Summe dieser beiden Funktionen darstellt, also $\begin{eqnarray*} C\cdot \cos(\omega t+c)=A\cdot \cos(\omega t+a)+B\cdot \cos(\omega t+b) \end{eqnarray*}$ . Löst man mit dem Additionstheorem $\begin{eqnarray*} \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y) \end{eqnarray*}$ beide Seiten auf, hat man

$\begin{eqnarray*} C\cdot \cos(\omega t)\cos(c)-C\cdot \sin(\omega t)\sin(c)=A\cdot \cos(\omega t)\cos(a)-A\cdot \sin(\omega t)\sin(a)+B\cdot \cos(\omega t)\cos(b)-B\cdot \sin(\omega t)\sin(b) \end{eqnarray*}$

Wir sammeln alle Summenden mit $\begin{eqnarray*} \cos(\omega t) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$ und machen für diese einen Koeffizientenvergleich. Das ergibt die beiden Forderungen

$\begin{eqnarray*} C\cdot \cos(c)=A\cdot \cos(a)+B\cdot \cos(b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C\cdot \sin(c)=A\cdot \sin(a)+B\cdot \sin(b) \end{eqnarray*}$

Dies ist ein Gleichungssystem für die Unbekannten C, c. Wir können dies nach C, c "umstellen", indem wir einerseits die Quadrate beider Gleichungen addieren bzw. andererseits beide Gleichungen dividieren. Das ergibt zwei neue Gleichungen

$\begin{eqnarray*} C^2=[A\cdot \cos(a)+B\cdot \cos(b)]^2+[A\cdot \sin(a)+B\cdot \sin(b)]^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan(c)=\frac{A\cdot \sin(a)+B\cdot \sin(b)}{A\cdot \cos(a)+B\cdot \cos(b)} \end{eqnarray*}$

Damit hat man C, c und folglich die gesuchte Funktion $\begin{eqnarray*} C\cdot \cos(\omega t+c) \end{eqnarray*}$

24.04.2012, 11:42

Ploki

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Ok danke an euch beide! So werd ichs wohl hinbekommen smile

lG Ploki

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