Vereinfachung von Termen

24.04.2012, 11:31

dookato

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Vereinfachung von Termen

Hallo folgender Term liegt mir vor (einer von vielen vll brauch ich noch mehr Hilfe aber erstmal der hier):

$\begin{eqnarray*} \frac{ \sqrt[x]{exp((x+2)^2-4)} }{exp(x)} \end{eqnarray*}$

Hmm ich hab das Binom aufgelöst und dann Potenzregelen angewendet und am Ende komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{exp(x) * exp(2)}{exp(x)} \end{eqnarray*}$

Ist das die richtige Lösung? Gesucht ist der Maximale Definitionsbereich...Also alle R?

24.04.2012, 11:44

The_Tower

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Dieser Term lässt sich meines erachtens nicht vereinfachen. Ergo, ist deine Umformung falsch smile

smile

24.04.2012, 11:49

dookato

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Nein das stimmt nicht, ich weiß das man ihn vereinfachen kann, und zwar soweit das man auf anhieb den Definitionsbereich sieht, aber meine Antwort ist natürlcih Schwachsinn zumal sich bei mir am ende exp(x) kürzen lässt.

Irgendwo hab ich nen Umformungsfehler gemacht scheinbar unglücklich

unglücklich

24.04.2012, 12:01

Equester

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Schreibe den Exponenten der e-Funktion um (Binomi).
Dann lässt sich die Sache in der Tat vereinfachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.04.2012, 12:04

The_Tower

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Oh, sorry.. ja, jetzt sehe ich es auch Ups

Ups

24.04.2012, 12:11

dookato

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Ja, das habe ich ja gemacht hab dann aber irgendwo falsch umgeformt, hier mal der Rechenweg:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[x]{ e^{x^2+2x} }}{e^{x} } \end{eqnarray*}$ //Nach Binomauflösung

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[x]{ e^{x^2}* e^{2x} }}{e^{x} } \end{eqnarray*}$ // Potenzregel

So und nun vermute ich hab ich mist gemacht die regel gibts jetzt wohl so nicht:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\frac{x^2}{x}}* e^{\frac{2x}{x}} }{e^{x} } \end{eqnarray*}$

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24.04.2012, 12:15

Equester

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[x]{ e^{x^2+\color{red}4\color{black}x} }}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2012, 12:30

dookato

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Hmm bloed ärgerlicher Fehler...aber letztendlich ändert das ja dann nicht dann hab ich am ende $\begin{eqnarray*} e^4 \end{eqnarray*}$ als Lösung? ... Oder stimmt das tatsächlich das x komplett rausfällt?

24.04.2012, 12:34

Equester

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Dein Ergebnis ist richtig Freude

Freude

.

$\begin{eqnarray*} \frac{ \sqrt[x]{exp((x+2)^2-4)} }{exp(x)}=exp(4) \end{eqnarray*}$

24.04.2012, 12:51

dookato

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Ah wie bloed ist das denn, dann hatte ich die ganze Zeit das richtige Ergebnis die sche*** 4 aus dem Binom hatte ich sogar selber schon korrigiert konnte nur meine eigene Sauklaue nicht entziffern -. - Danke dir auf jedenfall, allerdings führt mich das nun unweigerlich zu den nächsten paar Aufgaben wo mir passende Umformungsgesetze fehlen oder ich Fehler gemacht habe, bitte einfach mal drüberschauen:

1. $\begin{eqnarray*} log_2(\sqrt{e^x}) = \frac{x}{2} log_2(e) ? \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} log_2(4e^2) - (ln(2))^-1 \end{eqnarray*}$

Bei der weiß ich net so recht eventuell:

$\begin{eqnarray*} log_2(4e)-\frac{1}{ln2} \end{eqnarray*}$

Wenn das bis hier hin stimmt wie gehts ab da weiter?

3. $\begin{eqnarray*} log_{10}(10x^10) = 10x ? \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} log_3(x^2 - 4) - log_3(3(x-2)) = log_3(\frac{x^2-4}{3x-6}) \end{eqnarray*}$ ? Wobei x != 2?

24.04.2012, 13:03

Equester

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1. Ist soweit richtig. Man könnte, wenn man will, den $\begin{eqnarray*} log_2 \end{eqnarray*}$ noch in einen $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ verwandeln.
Im Ergebnis hat man aber trotzdem einen Logarithmus.

2. Der erste Summand ist falsch. Als du die 1/2 reingeholt hast, warum lässt
du da die 4 unberührt? Sorge dafür, dass die Logarithmen die gleiche Basis haben und
auch hier lässt sich stark vereinfachen.

3. Gewöhnlichen Zahlen scheinst du nicht die Beachtung zu schenken, die sie verdienen.
Wieder lässt du die 10 unbeachtet. Außerdem $\begin{eqnarray*} lg(x^{10})\neq x \end{eqnarray*}$

4. Deine Definitionsbereich ist nicht ausreichend. Der Logarithmus darf nicht
negativ werden (wenn du schon ne Einschränkung machst, dann ganz^^).
Lass die 3 ausgeklammert. Im Zähler beachte die binomischen Formeln.

24.04.2012, 13:16

dookato

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Ui, danke für deine Mühe smile

smile

Okay ich geh das mal der Reihe nach durch:

1. Das ist glaub ich mein Hauptproblem wie kann man denn einen Basiswechsel bei Logarithmen machen? Das kommt bei den folgenden Aufgaben ja auch vor.

2. Hmm ich hab die 1/2 nicht reingeholt ich dachte ich kann die ^2 vom e nach Log Gesetz nach vorne schreiben und damit hebt sich doch die 1/2 zu 1 weg? Nicht richtig?
Ansonsten: Gleiches Problem: Basiswechsel, weiß nicht wie das geht

3. $\begin{eqnarray*} 10*log_{10}(10x) \end{eqnarray*}$ ... war mein Ansatz, oder war das schon alles was sich vereinfachen lässt und der D-Bereich ist alle positiven reellen Zahlen?

4. Jap, hab nicht an den Log gedacht also alle positiven reellen Zahlen ausser 2.

Ansonsten:
$\begin{eqnarray*} log_3 (\frac{x^2-4}{3(x-2)}) \end{eqnarray*}$ öhm ... irgendwie seh ich da die binomische Formel nicht fehlt da nicht irgendwie nen 2x damit das nen binomi wäre?

24.04.2012, 13:22

Equester

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Für die Basisumrechnung schaue hier: Klick mich

2. Dann hast dus trotzdem falsch gemacht^^. Weiterhin weil du die 4
unbeachtet lässt! Du kannst dir nicht einfach eine passende Potenz rausziehen und
diese mit dem Vorfaktor verarbeiten. Du musst die Logarithmengesetze beachten.

$\begin{eqnarray*} log(a^n)=nlog(a) \end{eqnarray*}$
a ist bei uns halt $\begin{eqnarray*} a=2*e \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

3. Gleiches gilt hier. Ich würde hier das Produkt des Numerus als Summe der Logarithmen schreiben
(Wieder Logarithmengesetz). Dann ists recht leicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

4. Dritter Binomi -> 4=2².

Ich muss mal den Standort wechseln. Bin in etwa 1,5h wieder da.

24.04.2012, 14:20

dookato

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Okay dann also nochmal:

Nach Basiswechsel erhalte ich bei 1.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2*ln(2)} \end{eqnarray*}$ D-Bereich = R ?

Zu 2tens:

Ich versteh nicht warum 2e unser a ist. Im Log steht doch insgesamt $\begin{eqnarray*} 4e^2 \end{eqnarray*}$ und dann ist doch 4e das a und 2 das n und das hab ich halt rausgezogen..irgenwie steh ich da aufm schlauch

3.
$\begin{eqnarray*} 10 * log_{10}(x) \end{eqnarray*}$ D = $\begin{eqnarray*} R^{+} \end{eqnarray*}$ \{0} ?

4.
$\begin{eqnarray*} log_3(\frac{x+2}{3}) \end{eqnarray*}$ D = x element R | x > -2 ? (also darf ich +2 doch einsetzen und das vorhin war falsch?

24.04.2012, 14:55

Equester

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Der Definitionsbereich bezieht sich immer auf den Ausgangsterm.
Nicht auf was du im Nachhinein kommst.
Ist bei der 1 aber richtig Freude

Freude

.

2. Nein. Wäre n=2 und a=4a hättest du (4a)^2=4^2*a^2. Das passt dann nicht mehr.
Nimmst du aber n=2 und a=2a, hast du (2a)^2=4a^2

Also genau das, was wir brauchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

3. Das ist nun richtig. Der Definitionsbereich (er gilt ja für den Ausgangsterm) ist größer
als von dir angegeben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

4. Für den Definitionsbereich siehe oben. Du kannst hier noch vereinfachen. Du hast
im Nenner ne 3 stehen, und auch deine Basis ist 3! Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2012, 15:22

dookato

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Danke nochmal für deine Gedult, ist echt wichtig weils nen Abgabezettel ist.

So also.

1. Gott sei dank smile

smile

...

2. Öhm jetzt hab ich das verstanden denke ich. Mal sehen:

$\begin{eqnarray*} log_2(2e) - (ln(2))^-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(2e)}{ln(2)} - \frac{1}{ln2} \end{eqnarray*}$

So und nun heben sich ln und e ja weg heißt das dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln2} \end{eqnarray*}$ ?

3. Warum vereinfache ich dann überhaupt wenn ich den Definitionsbereich eh am Ausgangsterm erkennen muss? Allerdings erkenn ich da keinen anderen Definitionsbereich. Die Potenz ist Gerade das heißt Negativ bleibt Negativ und 0 bleibt 0...und davon logarithmieren geht im reelen ja nicht?

4. Ähnliches Probelm wie erkenn ich am Ausgangsterm den Definitionsbereich?

$\begin{eqnarray*} log_3(x+2) - 1 \end{eqnarray*}$

24.04.2012, 15:34

Equester

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Sry ich muss schon wieder gehen. Meine Klasse wartet.

Ich bin erst gegen 8 wieder erreichbar.

Mit nem ganz groben Blick drüber:
2. sieht gut aus

3. Du willst vereinfachen, damit du den ganzen Ausdruck nicht in den TR haken musst Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Ja, Null bleibt Null und dafür ist der Logarithmus nicht definiert.
Anders sieht es aber bei gerade Potenz mit negativen Zahlen aus! Die "werden" positiv!
Demnach ist ganz R erlaubt...ohne die 0.
Die 3 ist damit fertig und richtig.

4. Du guckst beim Ausgangsterm, was du alles einsetzen darfst.
Verwechselst du gerade Wertebereich mit Definitionsbereich?
Zur Vereinfachung...kurzer Blick -> sieht sehr gut aus.

Gewissheit gebe ich dir zur 2 und 4 heut Abend. Sry Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Wink

24.04.2012, 16:33

dookato

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Danke schonmal.

Ist der Definitionsbereich bei der 4ten dann R \ [-2;2] ?

24.04.2012, 17:27

Equester

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Die 4. hatten wir doch schon geklärt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zitat:

4. Jap, hab nicht an den Log gedacht also alle positiven reellen Zahlen ausser 2.

Das war richtig.

2. $\begin{eqnarray*} \frac{ln(2e)}{ln(2)} - \frac{1}{ln2} \end{eqnarray*}$
Das ist noch richtig. Aber nicht deine folgende Vermutung.
Logarithmengesetze:

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(2)+ln(e)}{ln(2)} - \frac{1}{ln2} \end{eqnarray*}$

Damit ists vollens einfach oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

4. Passt

Augenzwinkern

(Und bis 8e weg Big Laugh

Big Laugh

)

24.04.2012, 18:21

dookato

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Okay, wenn der Definitionsbereich bei 4tens Stimmte dann hab ich da nochmal ne Frage:

Du sagst es geht um das was man in den Ursprungsterm einsetzen darf, wenn du dir jetzt den Ursprungsterm anschaust darf man zB 1 auch nicht einsetzen, da dort ein negativer log stehen würde. Also müsste doch Allso ausserhalb des Intervalls von -2 bis 2 zum Definitionsbereich gehören und nicht wie vorher angenommen alles ausser +2.

Zu 2. Ist die Lösung dann 1?^^

24.04.2012, 20:17

Equester

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So jetzt bin ich ganz für dich da. Verzeih mir den Trubel.

Du hast recht, das hatte ich übersehen. Unser Defintionsbereich muss sogar
weiter eingeschränkt werden. Nur für x>2 ist gewährleistet, dass wir keinen
negativen Numerus haben. Hast du das gemeint?

24.04.2012, 20:33

dookato

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Naja du Hilfst mir ja, also musst du dich ja nicht entschuldigen dafür das du nicht alle 10sek antwortest, ich bin dir so schon dankbar genug Augenzwinkern

Augenzwinkern

Öhm ja stimmt allso x>2, habe den 2ten log nicht beachtet der x<-2 ausschließt.

Okay dann ist der Definitionsberecih auch geklärt.

Und die Vereinfachung bei 2 ist als Ergebnis: 1 stimmt das?

24.04.2012, 20:34

Equester

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Yep, das hat gepasst.
Der Def.Bereich sollte nun auch passen Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Und genau -> alle Summanden beachten.

24.04.2012, 20:46

dookato

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Okay, ich wiederhols nochmal ganz kurz nicht das sich da jetzt Fehler einschleichen, ich brauch diese verdammten Punkte^^ Also:

1. $\begin{eqnarray*} \frac{ \sqrt[x]{exp((x+2)^2-4)} }{exp(x)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D = R^+ \end{eqnarray*}$ \{0}

Nächste:

2. $\begin{eqnarray*} log_2(\sqrt{e^x}) = \frac{x}{ln2} und D = R \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} log_2(4e^2) - (ln(2))^-1 = 1 \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} log_{10}(10x^{10}) = 10 * log_{10}(x) und D = R \end{eqnarray*}$ \ {0}

5. $\begin{eqnarray*} log_3(x^2 - 4) - log_3(3(x-2)) = log_3(x+2)-1 \end{eqnarray*}$ und D = x element R| x>2

So. ich hoffe das stimmt so...ich danke dir vielmals für deine Hilfe, zumal ich das alles eigendlich können müsste ist sonen wiederholung echt mal top smile

smile

24.04.2012, 20:53

Equester

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Zur 1. Der Definitionsbereich stimmt nicht. Wenn ich das richtig sehe, ist das R\{0}.
Die e-Funktion wird ja nie negativ. Egal mit welcher Potenz. Man muss nur auf die
"0-te" Wurzel aufpassen. Also x=0 rausnehmen.

Den Rest hab ich auch so Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.04.2012, 20:56

dookato

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Ah okay, wusste nicht das die Wurzel ansich auch negativ werden kann, nochwas gelernt, ja dann natürlich nur die 0 rausgenommen.

Okay danke dir nochmals für deine Hilfe. Schönen Abend noch & bis zum nächsten mal...dauert sicher nicht lange^^

24.04.2012, 20:59

Equester

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Die Wurzel ist nichts anderes als eine Potenz. Diese darf auch negativ sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}} \end{eqnarray*}$

Gerne und bis dann,
Wink

Wink

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