Grenzwert mit Dominanzprinzip

24.04.2012, 14:40	Peckham	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mit Dominanzprinzip Hi, Folgende Aufgabe will gelöst werden: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{a} = 1+ x_{n} \end{eqnarray}$ Das verstehe ich. Jetzt muss ich wissen, gegen welchen Wert die Folge $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ konvergiert. Dazu nutze ich die Bernoulli Ungleichung: $\begin{eqnarray} a= ({1+x_{n}}) ^{n} \geq 1+nx_{n} \end{eqnarray}$ Bis hier hin glaube ich es zu verstehen. Kann mir jetzt jemand einen Tipp geben, wie ich hierher komme: $\begin{eqnarray} \frac{a-1}{n} \geq x_{n} \geq 0 \end{eqnarray}$ vor allem verwirrt mich, dass ich jetzt 2mal größer gleich habe
25.04.2012, 09:54	Peckham	Auf diesen Beitrag antworten »
keiner der mir hier helfen kann??
25.04.2012, 10:09	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mit Dominanzprinzip Um helfen zu können, wäre es hilfreich zu wissen worin die eigentliche Aufgabe besteht. Außerdem sollten die Voraussetzung klar dargelegt werden. Wer zum Beispiel ist eigenlich $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ?
25.04.2012, 12:35	Peckham	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok, also ich will den Grenzwert der oben genannten Folge bestimmen. Es geht um das Beispiel in folgendem Artikel: http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung Ich verstehe hier die oben genannte Umformung nicht
25.04.2012, 13:23	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mit Dominanzprinzip 1.) Zunächst einmal solltest Du Dir klar machen, dass gilt: $\begin{eqnarray} x_n\geq 0\text{ für alle }n\in\mathbb N. \end{eqnarray}$ 2.) Nach Definition der $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ folgt mit der Bernoullischen Ungleichung: $\begin{eqnarray} a=\left(\sqrt[n]{a}\right)^n= ({1+x_{n}}) ^{n} \geq 1+nx_{n}. \end{eqnarray}$ Also gilt insbesondere: $\begin{eqnarray} a\geq 1+nx_n. \end{eqnarray}$ Eine kleine Umformung obiger Ungleichung führt zu: $\begin{eqnarray} \frac{a-1}{n} \geq x_n. \end{eqnarray}$ 3.) Insgesamt hast Du also: $\begin{eqnarray} \frac{a-1}{n} \geq x_n\geq 0. \end{eqnarray}$ Das Einschließungskriterium besorgt nun den Rest.

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