Exakte Werte für komplexe Zahl bestimmen

24.04.2012, 16:20

^101

Exakte Werte für komplexe Zahl bestimmen

Guten Abend!

Folgendes Beispiel:

Zitat:

Bestimmen Sie für die komplexe Zahl
$\begin{eqnarray*} z = \frac{(4-7i)(1+3i)}{3-2i} \end{eqnarray*}$
die exakten Werte für den Realteil sowie den Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} z^7 \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz bisher war folgender:

$\begin{eqnarray*} z^7 = [\frac{(4-7i)(1+3i)}{3-2i}]^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^7 = [\frac{(4+12i-7i-21i^2}{3-2i}]^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^7 = [\frac{(4 +5i + 21}{3-2i}]^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^7 = [\frac{(25+5i)}{3-2i}]^7 \end{eqnarray*}$

Aber vielleicht interpretiere ich die Angabe mit dem $\begin{eqnarray*} z^7 \end{eqnarray*}$ schon falsch?
Irgendwie tappe ich völlig im Dunkeln und möchte deshalb hier um Hilfe bitten!

Freundliche Grüße
^101

24.04.2012, 16:25

Steffen Bühler

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RE: Exakte Werte für komplexe Zahl bestimmen
Bis jetzt alles prima. Am einfachsten geht's jetzt weiter, wenn Du Zähler und Nenner polar ausdrückst.

Viele Grüße
Steffen

24.04.2012, 16:40

^101

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RE: Exakte Werte für komplexe Zahl bestimmen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Bis jetzt alles prima. Am einfachsten geht's jetzt weiter, wenn Du Zähler und Nenner polar ausdrückst.

Viele Grüße
Steffen

Danke dir. Ich steh aber total auf der Leitung was hier a,b und was r ist. unglücklich

24.04.2012, 16:43

Steffen Bühler

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RE: Exakte Werte für komplexe Zahl bestimmen
Die Zahl $\begin{eqnarray*} 25+5i \end{eqnarray*}$ hat zum Beispiel den Betrag $\begin{eqnarray*} \sqrt {25^2 + 5^2} \end{eqnarray*}$ und den Winkel $\begin{eqnarray*} atan \frac {5}{25} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

24.04.2012, 17:15

^101

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Ah. Diese komplexe Zahl setzt sich ja aus zwei anderen komplexen Zahlen zusammen. Bzw. sie ist der Quotient zweier komplexer Zahlen. Ohjemine... smile

Dankeschön. Mal sehen ob morgen mehr geht.

24.04.2012, 17:22

Steffen Bühler

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Ja, aber das hört sich schlimmer an, als es ist. Wenn Du zwei komplexe Zahlen dividierst, teilst Du einfach die Beträge und subtrahierst die Winkel. Dann hast Du z. Und wenn Du das zur siebten Potenz erhebst, rechnest Du den Betrag hoch sieben und multiplizierst den Winkel mit sieben.

Und dann noch über cos und sin in Real- und Imaginärteil wandeln. Das war's.

Viele Grüße
Steffen

24.04.2012, 19:44

^101

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ja, aber das hört sich schlimmer an, als es ist. Wenn Du zwei komplexe Zahlen dividierst, teilst Du einfach die Beträge und subtrahierst die Winkel. Dann hast Du z. Und wenn Du das zur siebten Potenz erhebst, rechnest Du den Betrag hoch sieben und multiplizierst den Winkel mit sieben.

Und dann noch über cos und sin in Real- und Imaginärteil wandeln. Das war's.

Viele Grüße
Steffen

Danke, ich seh's mir morgen an. Wenn man was kann ist's natürlich immer leicht. Aber ich hatte halt bisher wirklich noch nie was mit komplexen Zahlen zu tun Big Laugh

28.04.2012, 17:04

^101

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Also ich weiß nicht so recht, ich hab das Beispiel letztlich auf beide Arten (mit Umwandlung in Polardarstellung und ohne) gerechnet.

Mal oben weitermachen:

Mit Umrechnung
$\begin{eqnarray*} z^7 = [\frac{(25+5i)}{3-2i}]^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^7 = [\frac{\sqrt[2]{25^2+5^2}\;;atan(\frac{5}{25})}{\sqrt[2](3²+-2²)\;;atan(\frac{-2}{3})}]^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^7 = [7,07...\;;45]^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^7 = (5 + 5i)^7 \end{eqnarray*}$

Ohne Umrechnung

$\begin{eqnarray*} z^7 = [\frac{(25+5i)}{3-2i}]^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^7 = [\frac{(25*3+5*(-2))+(5*3-25*(-2))i}{3²+(-2)²}]^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^7 = [\frac{(75-10))+(15-(-50))i}{9+4}]^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^7 = [\frac{65+65i}{13}]^7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^7 = (5+5i)^7 \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist jetzt, dass ich für ^7 keine binomische Formel mehr anwenden kann. Ich weiß zwar dank Wolfram Alpha, dass 625000 + 625000i rauskommen soll, aber... würde das, eurer Meinung nach, so reichen oder muss man wirklich den Umweg über die Polardarstellung gehen bzw. muss ich die 7. Potenz berechnen?

Ansonsten ist der einzige Haken an der Angabe ja nur, dass man die 7 Potenz nie vergessen darf anzuschreiben.

02.05.2012, 09:35

Steffen Bühler

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Ich war ein paar Tage nicht da, aber jetzt kann's weitergehen.

Zitat:

Original von ^101
$\begin{eqnarray*} z^7 = [7,07...\;;45]^7 \end{eqnarray*}$

Die Schreibweise ist etwas individuell, aber Du hast recht: es geht um eine komplexe Zahl, deren Betrag etwa 7,07 und deren Winkel 45 Grad beträgt. Die soll hoch sieben genommen werden.

Wie ich ja weiter oben schrieb:

Zitat:

Und wenn Du das zur siebten Potenz erhebst, rechnest Du den Betrag hoch sieben und multiplizierst den Winkel mit sieben. Und dann noch über cos und sin in Real- und Imaginärteil wandeln. Das war's.

Mach das doch mal.

Zitat:

Original von ^101
muss man wirklich den Umweg über die Polardarstellung gehen bzw. muss ich die 7. Potenz berechnen?

Du kannst natürlich auch kartesisch bleiben. Dann mußt Du halt sowas wie

$\begin{eqnarray*} (a+bi) \cdot (a+bi) \cdot (a+bi) \cdot (a+bi) \cdot (a+bi) \cdot (a+bi) \cdot (a+bi) = ... \end{eqnarray*}$

rechnen, was mir persönlich keinen Spaß machen würde.

EDIT: Aber die siebte Potenz mußt Du schon berechnen, das ist die Aufgabe.

Viele Grüße
Steffen

02.05.2012, 15:07

^101

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Danke dir, hab's letztlich auf mehrere Arten gelöst, aber vergessen mich wieder hier zu melden, tut mir ausgesprochen leid!

Die bequemste ist wohl nach Formal in der Polardarstellung.

Ansonsten kann man die Multiplikation in der kartesischen ja abkürzen indem man z.B.: schreibt:

(a+bi)³ * (a+bi)³ * (a+bi)... aber das ist noch immer ne recht lange Rechnung, da hast du recht.

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