Reihensumme

07.07.2004, 00:13

nonem

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Reihensumme

Es soll die Reihensumme S für die Gleichung
ausgerechnet werden. Irgendwie sitz ich da schon ewig dran, hab kein Plan. Kann mir jemand helfen?
Die Gleichung lautet:

$\begin{align*} \Bigsum_{k=1}^\infty~\frac{5+2^{k+3}}{6^k} \end{align*}$

EDIT: Formel verschönert (Irrlicht)

07.07.2004, 00:17

Irrlicht

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Zerlege den Bruch in 2 Summanden, ziehe die konstanten Faktoren 5 und 2^3 aus der Summe und verwende die Formel für die geometrische Reihe. smile

smile

07.07.2004, 00:24

Mazze

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Oder machs dir schwer und stell die Partialsummenfolge auf :P. Nene, wenn möglich Reihenwerte immer durch geometrische Reihe ausdrücken. Denk dran damit du Formel für den Reihenwert der geometrischen Reihe anwenden kannst must du die Summe von 0 beginnen lassen.

07.07.2004, 09:58

Shopgirl

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Hallo Mazze,

da sich Mathematiker uneins sind, ob die 0 eine natürliche Zahl ist, und ob Reihen bei 0 oder bei 1 beginnen sollten, gibt es beide Formeln, und beide sind recht einfach.

$\begin{align*} \bigsum_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}, \qquad \bigsum_{k=1}^\infty q^k = \frac{q}{1-q} \end{align*}$

Man muss sich aber nur eine merken, und kann die andere leicht daraus ableiten.

Hallo nonem,

beachte bei der zweiten Reihe, dass du nach dem Ausklammern von 2^3 den Bruch (2^k)/(6^k) hast, den du umklammern und kürzen kannst um auf die Form q^k zu kommen.

07.07.2004, 11:54

nonem

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Danke, Danke,
ist ja eigentlich recht einfach. Hätte ich ja auch selber drauf kommen können.
Gruß Norman

07.07.2004, 13:24

Irrlicht

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Schoen, dass wir dir helfen konnten. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Baeumen nicht, da brauchst du dir wirklich keine Gedanken zu machen. smile

smile

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08.07.2004, 13:10

nonem

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...und wie sieht es mit dieser aus.
Stell mich mal wieder zu glatt an.
$\begin{align*} \sum_{i=1}^\infty~\frac{2i-2}{2^i} \end{align*}$

// n -> unendlich (wie füg ich das zeichen ein)

/infty eingefuegt (Irrlicht)

08.07.2004, 13:16

Irrlicht

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Es soll wohl i = k sein, oder?

Das unendlich heisst "\infty". Ich editiere es dir.

08.07.2004, 13:22

nonem

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ja, sorry
k=i

08.07.2004, 13:45

Irrlicht

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Ich habe wieder umgeschrieben:

$\begin{align*} \bigsum_{i=1}^\infty \frac{2i-2}{2^i} = \bigsum_{i=0}^\infty \frac{2(i+1)-2}{2^{i+1}} = \bigsum_{i=0}^\infty \frac{i}{2^i} \end{align*}$

08.07.2004, 13:50

SirJective

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Eine Moeglichkeit waere, eine explizite Darstellung der Partialsummen zu bekommen.
Maple sagt da
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1}~\frac{2i-2}{2^i} = 2 - 4 n 2^{-n} \end{eqnarray*}$ .
Diese Formel muesstest du mit vollstaendiger Induktion beweisen koennen.
An der Formel kannst du dann den Grenzwert ablesen, weil n*2^{-n} gegen 0 konvergiert fuer n gegen unendlich.

Aha, Irrlicht hat eine gute Idee.
Diese neue Reihe ist zwar deutlich einfacher, die Partialsummen sind ebenfalls
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n-2} \frac{i}{2^i} = 2 - 4 n 2^{-n} \end{eqnarray*}$ .

EDIT:

Betrachte die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty} i x^i = \frac{x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ .
Wenn man da x = 1/2 einsetzt, hat man deine Reihe.
Wie beweist man, dass diese Reihe den angegebenen Wert hat?
Man bestimmt die Taylor-Entwicklung von
f(x) = x/(1-x)^2.

Mit vollstaendiger Induktion kann man beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = \frac{n!(x+n)}{(1-x)^{n+2}} \end{eqnarray*}$
ist, und daraus erhaelt man die angegebene Reihe als Taylorentwicklung mit Entwicklungspunkt x0=0.

08.07.2004, 13:59

Stefan31

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Hallo zusammen!

Es gibt da ja so einen Trick für $\begin{align*} |x|<1 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \sum\limits_{i=0}^{\infty} i x^i = x \cdot \sum\limits_{i=0}^{\infty} i x^{i-1} = x \cdot \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{d}{dx} (x^i) = x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sum\limits_{i=0}^{\infty} x^i \right) = x \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1-x} \right) = ... \end{align*}$

Versuche es mal, nonem. ;-)

Überlege dir aber vorher gut, warum man Summation und Differentiation vertauschen darf. ;-)

Liebe Grüße
Stefan

08.07.2004, 14:07

nonem

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bloß mit ner geometrischen Reihe kann ich das auch nicht lösen?!

08.07.2004, 14:11

Stefan31

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Hallo nonem!

SirJective hat dir doch die Formel hingeschrieben und auch hergeleitet (ich zwar auch, aber das musst du nicht weiter beachten ;-)).

Jetzt könnte man ja einfach mal für $\begin{align*} x \end{align*}$ den Wert $\begin{align*} \frac{1}{2} \end{align*}$ in die Formel von SirJective einsetzen, oder?

Versuchst du das mal und meldest dich mit deinem Ergebnis?

Liebe Grüße
Stefan

08.07.2004, 14:21

nonem

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oh sorry hab ich nich gesehen, mein opera hat da mal wieder nicht aktualisiert.

08.07.2004, 14:23

Stefan31

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Hallo nonem!

Kein Problem! Was hast du also raus?

Liebe Grüße
Stefan

08.07.2004, 14:32

SirJective

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Nach der x-ten Aenderung stimmt nun hoffentlich meine Formel oben.
Wie immer gilt: Alle meine Beitraege sind nicht ungeprueft zu verwenden. smile

smile

Stefan, die Idee mit dem Integrieren muss ich mir endlich mal merken. :P

08.07.2004, 16:23

nonem

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2 hab ich raus.

08.07.2004, 16:30

Stefan31

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Zitat:

2 hab ich raus.

:]

Liebe Grüße
Stefan

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