Topologie

24.04.2012, 19:49

miamiasd

Topologie

Meine Frage:
Was kann man sich unter dieser Topologie vorstellen?

$\begin{eqnarray*} \widehat{\mathbf{N}}=\mathbf{N}\cup\{\infty\} \ \ \ \mathcal{O}:=\{A\subseteq\widehat{\mathbf{N}}:\infty\in A \Rightarrow\exists n \in \mathbf{N}: \mathbf{N}+n\subseteq A\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee dazu ist das in $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ die diskrete Topologie als offene Menge enthalten ist aber was ist mit diesem ominösen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sieht dies $\begin{eqnarray*} \{n+1,n+2,n+3...\}\cup\{\infty\} \end{eqnarray*}$ aus ?

Latex korrigiert, Mulder

24.04.2012, 19:58

FCL

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Also mal ein gut gemeinter Kommentar:
Das kann so keiner erahnen, was du meinst smile

, du musst das mit dem latex schon richtig machen Big Laugh

24.04.2012, 20:01

12233

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RE: Topologie
Du hast die Latex Klammern immer falsch gesetz du meinst es sicherlich so:

$\begin{eqnarray*} \widehat{\mathbf{N}}=\mathbf{N}\cup\{\infty\} \ \ \ \mathcal{O}:=\{A\subseteq\widehat{\mathbf{N}}:\infty\in A \Rightarrow\exists n \in \mathbf{N}: \mathbf{N}+n\subseteq A\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee dazu ist das in $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ die diskrete Topologie als offene Menge enthalten ist aber was ist mit diesem ominösen $\begin{eqnarray*} \infty} \end{eqnarray*}$ sieht dies $\begin{eqnarray*} \{n+1,n+2,n+3...\}\cup\{\infty\} \end{eqnarray*}$ aus ?

24.04.2012, 20:37

Leopold

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Offen sind

1. sämtliche Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
2. Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \hat{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ enthalten, nur dann, wenn sie einen vollständigen "Schwanz" von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ enthalten

Beispiele:

a) Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist offen (sie ist ja eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ).
b) Die Menge der geraden natürlichen Zahlen, mit zusätzlich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ dabei, ist nicht offen, da sie keinen "Schwanz" von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ enthält.
c) Die Menge aller natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} \left| \frac{n^3}{{n^3 - 7n^2 + 19}} - 1 \right| \leq 6 \end{eqnarray*}$ gilt, mit zusätzlich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ dabei, ist offen. Beachte, daß der Bruch den Grenzwert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ hat.

24.04.2012, 21:10

-miami-beach

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Okay Danke für die schnelle Antwort.

Aber wie kommt man darauf das immer ein "Schwanz" von N beteiligt sein muss.

Wenn ich z.b. die 3 die 5 und unendlich wähle dann existiert doch ein n aus N z.b. 2 das zu einer natürlichen zahl (bsp 1) addiert die drei gibt.

25.04.2012, 11:17

Leopold

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Zitat:

Original von -miami-beach
Aber wie kommt man darauf das immer ein "Schwanz" von N beteiligt sein muss.

Das steht hier:

Zitat:

Original von miamiasd
$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbf{N}: \mathbf{N}+n\subseteq A\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n + \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist ein "Schwanz" von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , z.B. ist (wenn man die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ miteinschließt) $\begin{eqnarray*} 5 + \mathbb{N} = \{ 5,6,7,\ldots \} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von -miami-beach
Wenn ich z.b. die 3 die 5 und unendlich wähle dann existiert doch ein n aus N z.b. 2 das zu einer natürlichen zahl (bsp 1) addiert die drei gibt.

Ich glaube, da hast du die oben genannte Bedingung falsch verstanden.

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