Transformation von Zufallsgrößen

24.04.2012, 21:16

gastmathe0815

Transformation von Zufallsgrößen

Sei $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X. Bestimmen sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Y an:

$\begin{eqnarray*} Y = X^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y = sin(X) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y = cos(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_Y(x) = P(Y \leq x) = P(X^2 \leq x) = P(X \leq \sqrt x) = F_Y(x) = F_X(\sqrt x) \end{eqnarray*}$

Vielleicht hier auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ mit Indikatorfunktion dranhängen, weil wenn x < 0 dann macht der Wurzelausdruck keinen Sinn?

Oder ist das ganze bisher vollkommen falsch?

$\begin{eqnarray*} F_Y(x) = P(Y \leq x) = P(sin(X) \leq x) = P(X \leq arcsin(x) ) = F_Y(x) = F_X(arcsin(x)) \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich nicht weiter - muss ich hier noch was mit der Periodizität einfließen lassen oder geht das auch so irgendwie?

$\begin{eqnarray*} F_Y(x) = P(Y \leq x) = P(sin(X) \leq x) = P(X \leq arccos(x) ) = F_Y(x) = F_X(arccos(x)) \end{eqnarray*}$

Hier ist das im Prinzip das gleiche wie bei ii)

25.04.2012, 01:12

frank09

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RE: Transformation von Zufallsgrößen
Deine Überlegungen sind soweit richtig. Setze einfach die Umkehrfunktion ein.

25.04.2012, 07:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von gastmathe0815
$\begin{eqnarray*} P(X^2 \leq x) = P(X \leq \sqrt x) \end{eqnarray*}$

Dieser Umformungsschritt stimmt nur für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ (das hast du ja selbst erkannt) UND wenn die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur nichtnegative Werte annehmen kann!

Allgemein würde die Umformung so lauten müssen:

$\begin{eqnarray*} P(X^2 \leq x) = \begin{cases} P(-\sqrt{x} \leq X \leq \sqrt{x}) & \;\mbox{für}\, x\geq 0 \\ 0 & \;\mbox{für}\, x< 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Regeln für das äquivalente Umformungen von Ungleichungen sind auch in der Stochastik nicht außer Kraft gesetzt. unglücklich

Die anderen beiden Aufgaben sind wegen der fehlenden Monotonie von Sinus- und Kosinusfunktionen also auch mit kritischerem Blick anzugehen. Die Bestätigung von frank09 kann ich also nur ziemlich leichtfertig nennen.

25.04.2012, 18:31

gastmathe0815

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Hmm, du hast wohl Recht ...

Dann wird sich das doch auf meine Verteilungsfunktion so aus:

$\begin{eqnarray*} F_Y(\sqrt x) - F_Y(-\sqrt x) \end{eqnarray*}$ ?

Und warum ich das hier in Schulmathe gepostet habe, ist mir irgendwie total unverständlich..

25.04.2012, 21:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von gastmathe0815
$\begin{eqnarray*} F_Y(\sqrt x) - F_Y(-\sqrt x) \end{eqnarray*}$ ?

Du meinst natürlich $\begin{eqnarray*} F_X(\sqrt{x}) - F_X(-\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$ ?

Aber auch das ist nur richtig für stetige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , von einer derartigen Voraussetzung lese ich oben nichts. Für allgemeine $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ lautet die Antwort

$\begin{eqnarray*} F_Y(x) = P(X\leq \sqrt{x}) - P(X<-\sqrt{x}) = F_X(\sqrt{x}) - F_X(-\sqrt{x}{\color{red}-0}) \end{eqnarray*}$

wobei der Subtrahend rechts für einen linksseitigen Grenzwert steht, d.h. $\begin{eqnarray*} F_X(t-0) := \lim\limits_{s\nearrow t} F_X(s) \end{eqnarray*}$ .

Und es sei nochmal betont: Die oben angebenen Überlegungen zu $\begin{eqnarray*} F_{\sin(X)}(x) \end{eqnarray*}$ sind nur dann richtig, wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur Werte in $\begin{eqnarray*} \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \end{eqnarray*}$ annehmen kann, denn dort ist der Sinus ja tatsächlich streng monoton wachsend sowie in der angegeben Weise umkehrbar. Die Überlegungen zu $\begin{eqnarray*} F_{\cos(X)}(x) \end{eqnarray*}$ sind allerdings zur Gänze falsch, egal in welchem Intervall. unglücklich

26.04.2012, 01:15

gastmathe0815

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Äh ja, da habe ich mich nur verschrieben.

Hm, an stetige ZV erinnere ich mich dunkel und muss sagen, dass es zumindest bisher mein Gefühl war, dass diese mehr oder weniger als stetig angenommen worden sind (also in Beispielen, wie man damit hantiert).

Mein Problem mit dem Sinus und Kosinus ist hier einfach, irgendwie fehlen mir hier noch irgendwelche Angaben, als dass ich mit den Beispielen im Skript etwas anfangen könnte (mit der Einschränkung da gehts schon los), wie man das löst oder wie man damit generell hantiert - es kommt mir einfach irgendwie an den Kopf geworfen vor - ich wüsste absolut nicht mehr, wie ich mit der ZV sin/cos hier noch weiterkommen sollte.

Vielleicht muss ich da auch einfach noch mal viel mehr Zeit mit verbringen und mir mal ein Buch oder so kaufen und mir das später nochmal anschauen, auch wenns jetzt eine ÜA ist (die mache ich ja eh nicht für irgendwelche Punkte, sondern für mich).

Aber trotzdem danke smile

26.04.2012, 08:56

HAL 9000

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Es fehlen keine Angaben - es fehlt Nachdenken über den Verlauf von Sinus- und Kosinusfunktion.

Nehmen wir mal die Kosinusfunktion, und wir fragen uns nach den Werten der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} \cos(X)\leq x \end{eqnarray*}$ gilt, zunächst mal nur im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ . Betrachten wir das ganze mal exemplarisch für $\begin{eqnarray*} x=0.7 \end{eqnarray*}$ , die Betrachtungen gelten aber für alle $\begin{eqnarray*} -1\leq x<1 \end{eqnarray*}$ :

Wo ist hier der $\begin{eqnarray*} \cos(X) \end{eqnarray*}$ (rote Linie) unterhalb der Konstanten $\begin{eqnarray*} x=0.7 \end{eqnarray*}$ (grüne Linie) ? Nun, das ist das Intervall $\begin{eqnarray*} [\arccos(x),2\pi-\arccos(x)] \end{eqnarray*}$ .

Wegen der $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -Periodizität gilt das natürlich dann in allen Intervallen $\begin{eqnarray*} [2k\pi,2(k+1)\pi) \end{eqnarray*}$ : Es gilt dort $\begin{eqnarray*} \cos(X)\leq x \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} 2k\pi+\arccos(x) \leq x \leq 2(k+1)\pi-\arccos(x) \end{eqnarray*}$ .

In Formeln gegossen sieht das dann so aus

$\begin{eqnarray*} F_{\cos(X)}(x) &=& P(\cos(X)\leq x) = \sum_{k\in Z} P(\cos(X)\leq x,\, 2k\pi \leq X < 2(k+1)\pi) \\ &=& \sum_{k\in Z} P(2k\pi+\arccos(x) \leq X \leq 2(k+1)\pi-\arccos(x)) \\ &=& \sum_{k\in Z} \left( F_X(2(k+1)\pi-\arccos(x)) - F_X(2k\pi+\arccos(x)-0) \right) \end{eqnarray*}$ .

Das gilt, wie gesagt, für $\begin{eqnarray*} -1\leq x<1 \end{eqnarray*}$ . Dass für $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} F_{\cos(X)}(x)=0 \end{eqnarray*}$ , sowie für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ schließlich $\begin{eqnarray*} F_{\cos(X)}(x)=1 \end{eqnarray*}$ gilt, sollte angesichts des Wertebereichs $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ der Kosinusfunktion ohnehin klar sein.

Beim $\begin{eqnarray*} F_{\sin(X)}(x) \end{eqnarray*}$ gibt es andere, aber ähnliche Symmetrien zu beachten - versuch dich mal!

26.04.2012, 23:15

gastmathe0815

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Also:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Zufallsgröße für die $\begin{eqnarray*} sin(X) \leq x \end{eqnarray*}$ , aber hier muss ich mich schon auf das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[ \frac{\pi}{2} , \frac{5\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ einschränken, weil ich sonst die Ungleichung (UGL) verletzen könnte - da $\begin{eqnarray*} sin \end{eqnarray*}$ isoton auf $\begin{eqnarray*} \left[ 0 ,\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ . Deshalb verschiebe ich mir das ganze um $\begin{eqnarray*} \frac{pi}{2} \end{eqnarray*}$ und würde eig. beim Kosinus wieder rauskommen.

Wenn ich also $\begin{eqnarray*} x = 0.5 \end{eqnarray*}$ wähle, gilt $\begin{eqnarray*} \forall x \in \left[\frac{\pi}{2} , \frac{5\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} sin(X) \leq x \end{eqnarray*}$ mit "=" in den Punkten $\begin{eqnarray*} arcsin(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2\pi - arcsin(x) \end{eqnarray*}$ . Also gilt die ganze UGL auf

$\begin{eqnarray*} [arcsin(x), 2\pi - arcsin(x)] \end{eqnarray*}$

Wegen der $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ Periodizität gilt das dann auf allen Intervallen der Form ( $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \left[ \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2(k+1)\pi \right) \end{eqnarray*}$ :

Dort gilt $\begin{eqnarray*} sin(X)\leq x \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} + 2k\pi + arcsin(x) \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2(k+1)\pi - arcsin(x) \end{eqnarray*}$

Die Verteilungsfunktion sähe dann so aus:

$\begin{eqnarray*} F_{sin(X)}(x) = P(sin(X) \leq x) = \sum\limits_{k \in \mathbb Z} P(sin(X) \leq x, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq X \leq \frac{\pi}{2} + 2(k+1)\pi )<br /> = \sum\limits_{k \in \mathbb Z} P\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi + arcsin(x) \leq X \leq \frac{\pi}{2} + 2(k+1)\pi - arcsin(x)\right)<br /> = \sum\limits_{k \in \mathbb Z} \left( F_X(x) ( \frac{\pi}{2} + 2(k+1)\pi - arcsin(x)) - F_X(x)(\frac{\pi}{2} + 2k\pi - arcsin(x) -0 )\right) \end{eqnarray*}$

Und noch:
Für $\begin{eqnarray*} x \leq -1 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} F_{sin(X)}(x) := 0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ schließlich $\begin{eqnarray*} F_{sin(X)}(x) := 1 \end{eqnarray*}$ .

26.04.2012, 23:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von gastmathe0815
Wenn ich also $\begin{eqnarray*} x = 0.5 \end{eqnarray*}$ wähle, gilt $\begin{eqnarray*} \forall x \in \left[\frac{\pi}{2} , \frac{5\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} sin(X) \leq x \end{eqnarray*}$ mit "=" in den Punkten $\begin{eqnarray*} arcsin(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2\pi - arcsin(x) \end{eqnarray*}$ . Also gilt die ganze UGL auf

$\begin{eqnarray*} [arcsin(x), 2\pi - arcsin(x)] \end{eqnarray*}$

Nehmen wir mal Schwellwert $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , dann meinst du also, dass für alle $\begin{eqnarray*} X\in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sin(X)\leq 0 \end{eqnarray*}$ gilt? Stimmt nicht. unglücklich

Überprüfe sorgfältig deine Analogieschlüsse, da ist einiges richtig, aber sehr viel falsches dabei.

27.04.2012, 01:05

gastmathe0815

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Ich habe es mir jetzt so überlegt, dass das Intervall

$\begin{eqnarray*} \left(-\pi -arcsin(x) , arcsin(x) \right) \end{eqnarray*}$ sein muss, denn wenn $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ ist , habe ich die volle Länge der Periode, weil ja sowieso immer $\begin{eqnarray*} sin(X) \leq 1 \end{eqnarray*}$ gelten muss und wenn z.B. $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann habe ich eine Aussage für das Intervall $\begin{eqnarray*} \left( -\pi , 0 \right) \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} arcsin(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und weil $\begin{eqnarray*} arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ...

27.04.2012, 09:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von gastmathe0815
Ich habe es mir jetzt so überlegt, dass das Intervall

$\begin{eqnarray*} \left(-\pi -arcsin(x) , arcsin(x) \right) \end{eqnarray*}$ sein muss

Das sieht schon besser aus, exakt formuliert wäre dies: Für $\begin{eqnarray*} -1\leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \sin(X)\leq x \,\wedge\, X\in \left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \quad\Longleftrightarrow\quad X\in \left[-\pi-\arcsin(x),\arcsin(x) \right] \end{eqnarray*}$

Das ganze muss jetzt nur noch $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodifiziert werden, ausgehend vom hier nun betrachteten Grundintervall $\begin{eqnarray*} \left[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Dein ursprünglicher Weg, das ganze aus dem Kosinusergebnis herzuleiten, ist ebenso möglich: Es ist $\begin{eqnarray*} F_{\sin(X)}(x) = F_{\cos\left(X-\frac{\pi}{2}\right)}(x) \end{eqnarray*}$ , nur hast du dann in der Folge die "Verschiebung" $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ nicht richtig eingebracht, z.B. hätte da vorerst das $\begin{eqnarray*} \arccos(x) \end{eqnarray*}$ bleiben müssen, vorbehaltlich einer späteren Umwandlung in $\begin{eqnarray*} \arcsin(x) \end{eqnarray*}$ via $\begin{eqnarray*} \arccos(x) = \frac{\pi}{2}-\arcsin(x) \end{eqnarray*}$ .

27.04.2012, 21:45

gastmathe0815

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Wegen der $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ Periodizität gilt das auf allen Intervallen der Form:

$\begin{eqnarray*} X \in \left[2k\pi + \frac{-3\pi}{2} , 2k\pi + \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} sin(X) \leq x \end{eqnarray*}$ genau dann wenn

$\begin{eqnarray*} (2k-1)\pi -arcsin(x) \leq x \leq 2k\pi + arcsin(x) \end{eqnarray*}$

Also wäre:

$\begin{eqnarray*} F_{sin(X)}(x) = P\left(sin(X) \leq x \right ) = \sum\limits_{k \in \mathbb Z } P\left(sin(X) \leq x , 2k\pi + \frac{-3\pi}{2} \leq X \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2} \right)<br /> = \sum\limits_{k \in \mathbb Z } P\left((2k-1)\pi -arcsin(x) \leq X \leq 2k\pi + arcsin(x)\right) <br /> = \sum\limits_{k \in \mathbb Z } \left( F_X(2k\pi + arcsin(x)) - F_X(x)((2k-1)\pi -arcsin(x)-0 )\right) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe doch, jetzt stimmts..

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