Suche Stammfunktion

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24.04.2012, 22:25	jackyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Suche Stammfunktion Meine Frage: Hallo, ich suche die Stammfunktion oder "Aufleitung" von $\begin{eqnarray} <br /> f(x)= cosx^{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} 1/3 sinx^{3} kanns nicht sein!? \end{eqnarray}$
24.04.2012, 22:27	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Suche Satmmfunktion Probier es mit einer Substitution. $\begin{eqnarray} f(x)=cos(x^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u=x^2 ... \end{eqnarray}$
24.04.2012, 22:30	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Suche Satmmfunktion @hangman: Zu cos(x²) wirst du keine elementare Stammfunktion finden (deine Substitution wird da auch nichts bringen). Deswegen ist auch davon auszugehen, dass eigentlich $\begin{eqnarray} \int (\cos(x))^2 \, \dd x \end{eqnarray}$ gemeint ist. In dem Fall kann man entweder mit partieller Integration vorgehen, oder man nutzt die Identität $\begin{eqnarray} (\cos(x))^2 = \frac{1}{2}\ \Big(1 + \cos (2x) \Big) \end{eqnarray}$ aus, in dieser Form kann man das auch ohne partielle Integration lösen.
24.04.2012, 22:37	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Suche Satmmfunktion Okay, probiert habe ich es auch ehrlich gesagt garnicht... Danke für die Info.
24.04.2012, 23:28	jackyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine eigentliche Aufgabe lautet: Berechnen sie das unbestimmte Integral: $\begin{eqnarray} <br /> \int \! xcosx^{2} \, dx <br /> \end{eqnarray}$ Ich nutze hier die Substitutionsmethode: Nach unserem Bsp, gehe ich wie folgt vor. $\begin{eqnarray} <br /> t=x^{2}<br /> <br /> \frac{dt}{dx} = x---> dt=dxx<br /> <br /> \int \! cost \, dt \end{eqnarray}$ Ergebnis ist dann $\begin{eqnarray} sinx^{2} \end{eqnarray}$ . Aber dieses dt=dxx ist mir noch etwas unklar. Denn die richtige Lösung ist $\begin{eqnarray} 1/2sinx^{2} \end{eqnarray}$
24.04.2012, 23:34	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, dass das die "eigentliche" Aufgabe ist. Warum schreibst du das dann nicht sofort? Die Ableitung von x² ist nicht x, sondern 2x. Also ist $\begin{eqnarray} \frac{\dd t}{\dd x}=2x \end{eqnarray}$
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24.04.2012, 23:39	jackyx	Auf diesen Beitrag antworten »
aber was passiert mit diesem x vor cosx^2?
24.04.2012, 23:40	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Kürzt sich raus.
24.04.2012, 23:44	jackyx	Auf diesen Beitrag antworten »
wann kürzt es sich raus? Ich hab ja dann $\begin{eqnarray} \int\! xcost \, dt \end{eqnarray*}$ stehen ?!
24.04.2012, 23:47	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du nicht. $\begin{eqnarray} \dd x= \frac{\dd t}{2x} \end{eqnarray}$ Eingesetzt (das ist jetzt formal etwas unsauber, das x und das t im Integral so zu vermischen, aber ich mach es trotzdem mal, um es zu verdeutlichen): $\begin{eqnarray} \int \cos(t) \cdot x \cdot \frac{\dd t}{2x} \end{eqnarray}$ Da kannst du doch x wegkürzen und es verbleibt $\begin{eqnarray} \int \cos(t) \cdot \frac{\dd t}{2} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \int \cos(t) \, \dd t \end{eqnarray}$
24.04.2012, 23:50	jackyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, so ist es verständlich! aber wieso lösen wir die Gleichung manchmal nach dt und manchmal nach dx auf? Ist mir bei meinen Beispielen aufgefallen.
24.04.2012, 23:56	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Da steckt kein System dahinter. Der eine schreibt es so, der andere so. Hauptsache, du ersetzt das dx korrekt durch dt, so wie in diesem Beispiel.

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