Diff´barkeit überprüfen

25.04.2012, 00:59	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Diff´barkeit überprüfen Nabend, meine Aufgabe lautet wie folt : Bestimmen Sie alle Punkte $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , in denen die Funktion f definiert durch (a) f : $\begin{eqnarray} \mathbb R -->\mathbb R <br /> x --> \|x^3 \| \end{eqnarray}$ (b) f : $\begin{eqnarray} \mathbb R -->\mathbb R <br /> x --> \begin{pmatrix} x : x < 0 \\ x^4 : x \geq 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ differenzierbar ist. Zur Überprüfung der Diff´barkeit: f heißt diff´bar in a, wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \end{eqnarray}$ existiert. zu (a): Ich habe mir gedacht, dass ich da wohl eine Fallunterscheidung in folgendem Sinne durchführen muss: 1. Fall : $\begin{eqnarray} (a+h) \geq 0 \wedge a \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{\| (a+h)^3\| - \|a^3\|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ (a+h)^3 - a^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^3 + 3ha^2 + 3h^2a + h^3 - a^3}{h} = \lim_{h \to 0} 3a^2 + 3ha + h^2 = 3a^2 \end{eqnarray}$ 2. Fall : $\begin{eqnarray} (a+h) \geq 0 \wedge a < 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{\| (a+h)^3\| - \|a^3\|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ (a+h)^3 + a^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2a^2}{h} + 3a^2 + 3ha + h^2 = - \infty \end{eqnarray}$ 3. Fall : $\begin{eqnarray} (a+h) < 0 \wedge a \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{\| (a+h)^3\| - \|a^3\|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ -((a+h)^3) - a^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2a^3}{h} - 3a^2 - 3ha - h^2 = - \infty \end{eqnarray}$ 4. Fall : $\begin{eqnarray} (a+h) < 0 \wedge a < 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{\| (a+h)^3\| - \|a^3\|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{ -((a+h)^3) + a^3}{h} = \lim_{h \to 0} -3a^2 - 3ha - h^2 = -3a^2 \end{eqnarray}$ Ich sehe also nun, dass für die beiden Fälle 2 und 3 keine Ableitungen existieren, da der Grenzwert nicht existiert. Bleiben also noch die Fälle 1 und 4. Irgendwie bekomme ich es gerade geistig nicht zurande da nun eine gescheite Aussage tätigen zu können. Da könnte ich ein wenig Hilfe gebrauchen. Und zu (b): Da würde ich zunächst sagen, dass sie als Komposition stetiger Funktionen stetig ist, nur x=0 ist problematisch. Als linksseitigen Grenzwert habe ich aber f´(0) = 1 und als rechtsseitigen f´(0) = 0 heraus, das heißt der Grenzwert ex. dort nicht.
25.04.2012, 08:42	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diff´barkeit überprüfen Zu a: der 2. Fall existiert im Grunde nicht. Denn wenn a < 0 ist und h gegen 0 geht, dann ist irgendwann auch a+h < 0. Analoges gilt auch für den 3. Fall bis auf den Fall a=0. Ich würde da eher argumentieren, daß \|x³\| außerhalb von x=0 eine Komposition differenzierbarer Funktionen ist. Zu b: ist im Prinzip richtig, nur geht es auch hier um differenzierbare und nicht um stetige Funktionen.
25.04.2012, 10:26	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar danke. Ich schreibe also $\begin{eqnarray} \|x^3\| = \|x\|^3 = \|x\| \cdot \|x\| \cdot \|x\| \end{eqnarray}$ und bin damit praktisch aus dem Schneider? Und zu (b) meinte ich natürlich diff´bar. ^^
25.04.2012, 10:37	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, denn eine solche umschrebung macht keinen sinn. setz einfach mal die definition des betrags ein, damit du eine abschnittsweise definierte funktion hast, mit der du dann schön arbeiten kannst.
25.04.2012, 13:05	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe also als Grenzwert für x < 0 : -3x^2 Für x > 0 3x^2 Ist also dort diffbar. Wie sieht es mit 0 aus? Da dort linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert gleich 0 sind würde ich sagen ist sie auch in 0 diffbar oder?
25.04.2012, 13:09	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann man so sagen.
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