Von lineare Schreibweise in Vektorschreibweise "übersetzen" und andersrum?

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25.04.2012, 11:52	nonoblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Von lineare Schreibweise in Vektorschreibweise "übersetzen" und andersrum? Meine Frage: Hallo! Ich habe eine Gerade als lineare Gleichung (heißen die so?)gegeben und soll diese in Vektorschreibweise angeben. Ich müsste auch wissen, wie man von der Vektorschreibweise in die lineare Form übersetzt. Kann mir jemand helfen? Meine Ideen: ich hab keine Idee
25.04.2012, 12:25	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Möglichkeit 1: Hast Du eine Skizze angefertigt? Wenn ja, dann lies doch den Richtungs- und Ortsvektor einfach ab. Wenn nein: Mach eine Skizze Möglichkeit 2: Überleg Dir, was die Steigung einer Geraden angibt und schon kannst Du einen Richtungsvektor angeben. Der Ortsvektor sollte sich auch recht schnell finden lassen.
25.04.2012, 12:32	nonoblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mach das nur rechnerisch (Skizzen verwirren mich sowieso schon) Das m gibt die Steigung einer geraden an - aber wie gebe ich daraus den Richtungsvektoren an? Der Ortsvektor ist doch irgendein Punkt - da kann ich doch irgendwas in x einsetzen und y ausrechnen oder?
25.04.2012, 12:33	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das zweite stimmt schon mal, das erste inhaltlich auch, bringt uns aber so noch nicht weiter. Wie äußert sich denn die Steigung? Was gibt sie genau an?
25.04.2012, 12:39	nonoblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, wieviel eine Gerade nach rechts geht und wieviel nach oben..oder?
25.04.2012, 12:42	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau und nun schreib das als Vektor: 1 nach rechts, a nach oben.
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25.04.2012, 12:52	nonoblue	Auf diesen Beitrag antworten »
also 1 in x vom richtungsvektor, a in y? unser lehrer sagte mal irgendwas von wegen man müsse die hälfte von m nehmen oder so... :/
25.04.2012, 13:00	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schon richtig so. Aus y=mx+n wird in Parameterform $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0\\n \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Rein analytisch ist das auch klar, denn aus y=mx+n folgt die Vektordarstellung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ mx+n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ n \end{pmatrix} + x\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
25.04.2012, 13:10	nonoblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schon schlüssig. Aber ich bin gerade konfus vor meiner Klausur.. Wieso nimmst du 0 und den Schnittpunkt mit der y-Achse für den Stützvektoren, kann da nicht irgendein frei gewählter anderer Punkt hin? Und wieso 1 in x beim Richtungsvektor...ich bin jetzt immer von der Hälfte ausgegangen weil das unser Lehrer sagte...jetzt frag ich mich natürlich wie er darauf kommt
25.04.2012, 13:13	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann Dir schlecht sagen, was dein Lehrer gesagt oder nicht gesagt hat, ich war ja nicht dabei. Alles was ich Dir sagen kann ist, wie es richtig ist und die Hälfte macht für die Gerade einfach keinen Sinn. Vielleicht habt ihr von der Winkelhalbierenden gesprochen und nicht der Geraden selber? Bzgl. des Ortsvektor hast Du recht, man kann irgendeinen Punkt der Geraden nehmen. (0/n) ist aber nun einmal der einfachste
25.04.2012, 13:18	nonoblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, von der Geraden selber. Okay, dann einfach m in y einsetzen und für x 1, merk ich mir so - deine Erklärung ist nämlich schlüssig
25.04.2012, 13:54	nonoblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie geht das wohl andersrum, vom Vektor in die normale? :o
25.04.2012, 13:59	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist auch nicht viel aufwendiger: Die Vektordarstellung liefert Dir ja zwei Gleichungen. Forme eine davon nach dem Parameter um und setzte das Ergebnis in die andere Gleichung ein. Wichtig: Falls die Gerade parallel zur y-Achse verläuft, ist eine Darstellung als Funktion nicht möglich!
25.04.2012, 14:13	nonoblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Das versteh ich irgendwie nicht... Bist du so lieb und machst mir vielleicht ein Beispiel? Und kann man denn nicht einfach schon direkt den y-Wert vom Richtungsvektor für m einsetzen?
25.04.2012, 14:26	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, denn der Richtungsvektor muss ja nicht zwingend bei x den Wert 1 haben. Das einzige, was Du machen kannst ist den Richtungsvektor entsprechend anzupassen, so dass diese Bedingung erfüllt ist. Nehmen wir mal das Beispiel $\begin{eqnarray} \vec v=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nach meinem ersten Vorschlag ergeben sich daraus die Gleichungen $\begin{eqnarray} x=1+2t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=1-5t \end{eqnarray}$ Nun kannst Du zum Beispiel die erste Gleichung nach t umformen: $\begin{eqnarray} <br /> t=\frac 12 (x-1) \end{eqnarray}$ Dies setzt Du in die zweite Gleichung ein: $\begin{eqnarray} y=1-5\cdot\frac 12 (x-1)=\frac 72-\frac 52 x \end{eqnarray}$ Alternativ der eben angesprochene Weg: Der Richtungsvektor hat den x-Wert 2. Um auf 1 zu kommen, müssen wir den Vektor halbieren und es ergibt sich als neuer Richtungsvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac 52 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt kannst Du die Steigung ablesen: $\begin{eqnarray} m=-\frac 52 \end{eqnarray}$ und durch Einsetzen eines Punktes den fehlenden Wert für n bestimmen: $\begin{eqnarray} 1 = -\frac 52\cdot 1 + n \Rightarrow n=... \end{eqnarray}$
25.04.2012, 14:40	nonoblue	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich merk mir den zweiten Weg, der ist gut und wahrscheinlich auch kürzer x ist also nicht immer 1, sondern angepasst? Aber sagten wir das nicht eben? Weil wenn ich m schon habe, kann ich doch nur unten m einsetzen und oben eine 1. Wenn ich zB eine 2 einsetze, muss ich eben unten 2m einsetzen, aber das macht doch niemand, ist ja umständlich
25.04.2012, 14:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir reden ja jetzt vom umgekehrten Weg und der geht von irgendeiner Vektordarstellung aus. Einfaches Beispiel: Du sollst die Gerade bestimmen, die durch die Punkte P und Q verläuft. Dann würdest Du in Vektorform einen der beiden Punkte als Stützvektor nehmen und den Verbindungsvektor der beiden Punkte als Richtungsvektor. Dieser wird aber in den seltensten Fällen einen x-Wert von 1 haben, denn das setzt ja voraus, dass sich die x-Koordinaten der beiden Punkte nur um eins unterscheiden.
25.04.2012, 15:03	nonoblue	Auf diesen Beitrag antworten »
achsoo...und wenn der x-wert zufällig 5 ist und der y-wert ist 3, dann teile ich 3/5, hab dann oben 1 stehen, unten 3/5 und dann ist 3/5 meine steigung, die ich in die lineare gleichung für m einsetzen kann? jetzt hab ichs! )
25.04.2012, 15:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig

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