Reihen berechnen

25.04.2012, 15:29

Furius456

Reihen berechnen

Meine Frage:
Berechne für |x|<1 die Summe:

[latex]\sum\limits_{k=1}^\infty k^2*x^k [\latex]

Meine Ideen:
Weiß nicht wirklich wie ich darangehen soll.. würde x^k mit der geomatrischen Reihe angeben aber wie mache ich das mit dem k^2?

Wir hatten die Summer über die Natürlichen zahlen als (n*(n+1))/2, kann ich das einfach quadrieren??

25.04.2012, 15:33

Furius456

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty k^2*x^k \end{eqnarray*}$

Meinte ich..

25.04.2012, 15:48

Valdas Ivanauskas

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Cauchyprodukt!
Berechne zunächst

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{1-x}\right)^2=\sum_{n=0}^\infty x^n\cdot\sum_{n=0}^\infty x^n. \end{eqnarray*}$

Damit erhältst Du den Wert von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty nx^n. \end{eqnarray*}$

Berechne damit dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty nx^n\cdot\sum_{n=0}^\infty x^n. \end{eqnarray*}$

Das führt dann direkt zum gewünschten Reihenwert.

25.04.2012, 15:57

Furius456

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Wie kommst du auf (1/1-x)^2??

Werd mir Cauchyproduktformel mal ansehen danke dafür. Melde mich dann wenn ich was nich verstehe.

25.04.2012, 16:16

Valdas Ivanauskas

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Zitat:

Original von Furius456
Wie kommst du auf (1/1-x)^2??

Ähm, geometrische Reihe...

25.04.2012, 18:11

Furius456

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Achsoo also hast du (1-x^n)/1-x direkt auf 1/1-x gemacht weil x^n für |x|<1 gegen 0 geht oder wie?

25.04.2012, 20:07

Valdas Ivanauskas

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Hmh, also das Wissen um

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac 1{1-x}\text{ für }|x|<1 \end{eqnarray*}$

habe ich tatsächlich einfach mal vorausgesetzt - ja.

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