Sinus, Cosinus und Nullstellen??? |
| 07.07.2004, 00:45 | Cosinus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Sinus, Cosinus und Nullstellen??? wie kann ich die Nullstellen von Funktionen wie y = sin x + cos x oder y = x - sin x errechnen? Ich meine so ohne Rechner und Formelsammlung. Geht das auch mir y=0 setzen und auflösen...wenn ja, wie???Oo :P THX... 
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| 07.07.2004, 01:21 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Sinus, Cosinus und Nullstellen??? nicht unbedingt ... sin x + cos x = 0 ......... etwa soo sin(x) + sqrt(1-sin²(x)) = 0 .... oder auch so sin(x) + sin(Pi/2 -x) = 0 .... x - sin x = 0 ...... nur numerisch einfach so über einen Kamm, .... lässt sich das also nicht
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| 07.07.2004, 10:04 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
sin(x) - x = 0 Newtonverfahren geht auf jedenfall oder aber der Ansatz sin(x) - x = 0 <=> sin(x) =x Jetzt überlegt man sich für welche x die Gleichung gilt, auf jedenfall gilt sie für 0. Eine Nullstelle existiert also schonmal. Betrachtet man den einheitskreis dann wäre x ein Punkt auf dem Kreis und sin(x) der Zugehörige Sinus (vertikale Strecke). Bis pi/2 steigt der Sinus also wird unser erste Schritt sein zu zeigen ob folgendes gilt Man sieht aber (und das müsste man zeigen) das die Strecke der vertikalen Sinusgeraden, immer kürzer ist als der Zugehörige Strecke des Bogens. Kann man sich intuitiv über die krümmung des Kreises klar machen, wenn wir eine linie durch einen punkt auf dem Bogen und dem Zugehörigen Sinus legen, dann ist die "direkte" strecke die kürzere, beim kreis haben wir noch eine Krümmung drin, wir laufen quasi "länger" . Der Sinus ist also nicht nur für pi/2 sondern für ganz 2Pi immer kleiner als die Strecke auf dem Bogen, bis auf eben die Nullstelle. Wir wissen nun also es kann nur eine Nullstelle geben und diese liegt in (0,0). So wie ichs hier gemacht hab gehts aber nur in ganz wenigen fällen, würden wir die Kurve auf der y-achse verschieben wäre die nullstelle keineswegs mehr so klar zu sehen. Im allgemeinen reicht es bei dieser Gleichung das Verhalten des sinus für x zwischen -1 und 1 zu betrachten weil für alle anderen fälle ist sin(x) - x = 0 niemals erfüllt da |x| > 1 und sinus maximal 1 ist Zu beachten ist auch das kritische Verhalten bei sehr kleinem x wert. sin(1*10^-9) - 10^-9 zum beispiel, mein taschenrechner sagt mir schon das die gleich sind , aber wir wissen ja das der Bogen immer größer als die zugehörige Gerade ist, bis auf Bogenstrecke 0. Sogar der Funktionsgraph den ich geplottet hab sagt mir an das in einem gewissen interval (recht klein) die Kurve auf der x-achse wandert. |
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| 04.04.2006, 22:00 | marcL | Auf diesen Beitrag antworten » |
y = sin x + cos x sin (x) = - cos (x) |cos(x) ungleich 0 tan(x) = -1 und dann nachschlagen wann der tangenz -1 ist. |
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