Zeige, dass dies keine Regelfunktion ist

25.04.2012, 17:30	Gogled3	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass dies keine Regelfunktion ist Meine Frage: Hallo, ich habe diese Aufgabe vor mir, mit der ich absolut nicht zurecht komme. Meine Ideen: Wir haben uns kaum mit Regelfunktionen befasst, es eigentlich nicht einmal richtig definiert. Wir haben festgehalten, dass der Abschluss der Treppenfunktionen die Regelfunktionen sind. Also: f ist eine Regelfunktion, wenn es eine Treppenfunktion gibt, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Ich habe allerdings keine Ahnung wie mir das hier in diesem Fall weiterhelfen soll. Es wird wohl über einen Widerspruch laufen, aber ich komme nicht drauf.
25.04.2012, 23:30	Gogled3	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir da niemand helfen?
26.04.2012, 22:27	Gogled3	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir stellt sich die Frage, ob ich mit dem kleinen Ansatz arbeiten "muss" und mir quasi die anderen Definitionen , die ich gefunden habe selber herleiten muss, oder ob es vielleicht einen besseren Weg gibt. Viele Grüße
28.04.2012, 11:46	Gogled3	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir wirklich niemand hier helfen?!
28.04.2012, 17:44	alhoce	Auf diesen Beitrag antworten »
Regelfunktionen Hey, ich bin mir nicht ganz sicher, aber kann es sein, dass du keine Funktion angegeben hast, die du bearbeiten möchtest? Zumindest bei mir steht nichts. Hat sich erledigt lag wohl an meine Laptop.
28.04.2012, 18:53	alhoce	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Regelfunktionen Hey ich bins nochmal, also ich hab folgende Idee für den Beweis: Wie sind Treppenfunktionen definiert? f: [a,b] $\begin{eqnarray} \to \mathbb R \end{eqnarray}$ heißt Treppenfunktion, wenn sie stückweise konstant ist, d.h. es existieren Punkte $\begin{eqnarray} a:=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=:b \end{eqnarray}$ , so dass f auf jedem Intervall $\begin{eqnarray} (x_{j},x_{j+1}) \end{eqnarray}$ konstant ist. Insbesondere ist $\begin{eqnarray} x_{i} \end{eqnarray}$ echt kleiner als $\begin{eqnarray} x_{i+1} \end{eqnarray}$ für alle i. Angenommen es existieren jetzt Treppenfunktionen $\begin{eqnarray} T_{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T_{n} \to f \end{eqnarray}$ gleichmäßig. Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dass $\begin{eqnarray} \|\|T_{n}-f\|\|_{\infty}=0 \end{eqnarray}$ Wo könnte die ganze Geschichte nun kaputt gehen? Naja das Problem ist doch, das die Treppenfunktionen stückweise konstant sind und deine Funktion gleichzeitig "große" Sprünge macht. Du kannst sicherlich $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ durch Treppenfunktionen gut annähern und der Abstand (sprich die Suprema) werden immer kleiner, aber bei der dir gegebenen funktion sieht das etwas anders aus, denn: Zunächst muss du dir sicher überlegen für welches Intervall $\begin{eqnarray} (x_{j},x_{j+1}) \end{eqnarray}$ soll deine Treppenfunktion den Wert 1 und für welches den Wert 0 haben. Allerdings spielt das keine Rolle, denn sagen wir du wählst jetzt ein INtervall auf dem der Treppenfunktionswert 0 ist. Du weißt sicher, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ dich in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ liegt. D.h. es gibt für jede Umgebung $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ Werte aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ um einen Punkt $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Wenn du jetzt also für jedes Intervall ein $\begin{eqnarray} x \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ findest, dann ist dort dein Funktionswert 1. Da deine Treppenfunktion aber konstant 0 ist auf dem gewählten Intervall, so ist $\begin{eqnarray} \|\|T_{n}-f\|\|_{\infty}=1 \end{eqnarray}$ und zwar für alle n. Damit Findest du also keine Treppenfunktion die gegen f gleichmäßig konvergiert, und damit kann f keine Regelfunktion sein. Wie gesagt der Beweis ist nun nicht vollständig ausgearbeitet, aber ich denke die Idee dahinter dürfte rübergekommen sein. MfG
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28.04.2012, 22:04	alhoce	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Regelfunktionen Ich muss mich übrigens noch korrigieren, der Abstand $\begin{eqnarray} \|\|T_{n}-f\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ ist nicht 1, sondern größer als 1/2, denn du könntest ja eine Treppenfunktion auf einem Teilintervall haben, die auf diesem Stück den Wert 1/2 hat. Allerdings ist 1/2 auch der kleinste wert, der angenommen werden kann, denn erhöhst du den Wert nur ein bisschen, so vergrößerst du gleichzeitig den Abstand zur 0, und andersrum, wenn du den Wert erniedrigst, genauso. MfG

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