Charakteristisches Polynom

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Ersti12 Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom
Meine Frage:
Hallo Leute,
hänge an einer Aufgabe und zwar soll ich das char. Polynom von


f(x) = i * x berechnen, wobei x aus den komplexen Zahlen stammt. Dabei handelt es sich um eine lineare Abbildung (Endomorphismus) von V nach V, wobei V ein zweidimensionaler reeller Vektorraum der komplexen Zahlen C ist.

Nun habe ich mir überlegt, dass man ja zuerst eine Abbildungsmatrix aufstellen könnte und über diese dann das charakteristische Polynom berechnen kann.
Dafür wollte ich eine Basis des Def-Raumes berechnen: Stimmt es, dass diese Basis "i" und "1" ist? Weil man kann ja aus i = 0 + 1*i und 1 = 1 +0*i alle möglichen komplexen Zahlen aufstellen.


Wie gehe ich nun weiter vor?

Danke für die Hilfe.

Meine Ideen:
(siehe oben)
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Stimmt es, dass diese Basis "i" und "1" ist? Weil man kann ja aus i = 0 + 1*i und 1 = 1 +0*i alle möglichen komplexen Zahlen aufstellen.


Jip Freude

Das weitere Vorgehen:

1. Die Matrix aufstellen, das genaue Vorgehen wird hier gut erklärt.

2. Die Determinante berechnen. Dabei bezeichnet A die Matrix aus 1., das Lambda ist als Variable anzusehen und E_n bezeichnet einfach die Einheitsmatrix gleicher Größe wie A.
Du erhälst ein Polynom, und das ist genau das charakteristische
meyju Auf diesen Beitrag antworten »
?
Ich sitze gerade genau an der gleichen Aufgabe und komme aber nicht weiter...wie soll ich aus "1" und "i" als Basis eine Matrix aufstellen? (beim Rest weiß ich, wie es geht...)

Brauche dringend Hilfe!

Vielen Dank
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

@meyju:

Dir ist klar, dass i und 1 eine Basis des Vektorraumes der komplexen Zahlen sind (welcher natürlich gleichzeitig auch Körper ist), oder?

Nun schickst du diese beiden Basiselemente durch den Homomorphismus, berechnest also f(1) und f(i). Wichtig dabei ist, dass du die Ergebnisse als Linearkombination der Basisvektoren des Zielraumes darstellst (in diesem Fall spielt das fast keine Rolle, da Start- und Zielraum identisch sind und wir die gleichen Basen haben).
Wenn du die Koeffizienten dieser Linearkombinationen nimmst und sie als Spaltenvektoren schreibst, dann hast du genau die Spaltenvektoren der Matrix.

Und für genauere, bessere Erklärungen und einen ganzen Haufen Beispiele hatte ich ja oben den Workshop von Cel verlinkt.
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