Unendliche Reihen

24.01.2007, 09:55

mazeli

Unendliche Reihen

Hallo, ich bins wieder,

Wollte mich heute mit dem Thema "unendliche Reihen" beschäftigen und dank totalem Schneechaos hier muss ich auch net raus und hab Zeit :-).

Jetzt hab ich mir hier im Buch von Papula mal das Thema Unendliche Reihen angeschaut, will ja dann später auf die Potenzreihen hinaus.

Aber mit dem ganzen mathematischen beschreibungskram komme ich doch nicht wirklich klar.
Gibts vielleicht im Netz hier was gutes wo es verständlich erklärt? Hab zwar schon intensiv gegoogelt aber was wirklich brauchbares finde ich nicht.

Und was mir noch net klar ist, kann es sein das eine Reihe das gleiche ist wie eine Zahlenfolge?
Also wenn ich mir das hier im Buch anschaue finde ich keinen Unterschied???

Hoffe hier bin ich überhaupt im richtigen Forum, konnte es net ganz einordnen in welchen Bereich das hier gehört.

Gruß mazeli

24.01.2007, 11:08

klarsoweit

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RE: Unendliche Reihen
Dazu ein paar grundsätzliche Anmerkungen:

Du hast eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und bildest dazu die Folge der Partialsummen:
$\begin{eqnarray*} s_n := \sum_{k=1}^n~a_k \end{eqnarray*}$

Man nennt dann die Folge s_n auch Reihe zur Folge a_n.

Falls der Grenzwert $\begin{eqnarray*} S := \lim_{n \to \infty}~s_n \end{eqnarray*}$ existiert, so schreibt man auch:

$\begin{eqnarray*} S = \sum_{k=1}^{\infty}~a_k \end{eqnarray*}$

Zu den Umständen, wann dieser Grenzwert existiert, gibt es eine Reihe von Regeln und Sätzen. Die notwendige Bedingung ist, daß zumindest mal $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~a_n = 0 \end{eqnarray*}$ .

PS: prinzipiell paßt das Thema hier hin. Augenzwinkern

24.01.2007, 11:40

mazeli

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Ok, danke :-)

Vielleicht jetzt ne ganz blöde frage aber was ist eine Partialsumme? Nehme an das dass eine Teilsumme oder etc sein soll, aber was genau ist das?

Ne Folge ist ja sozusagen eine unendliche Ansammlung von Summanden die einer bestimmten bildungsvorschrift unterliegen oder?
Ist dann jeder Summand die Partialsumme?

also wenn ich die Folge (1,2,3,4,5,6 ... (Ist doch eine Folge oder?)) habe dann ist z.B. 2 eine PArtialsumme?

So ganz begreif ich das irgendwie noch nicht.

24.01.2007, 11:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von mazeli
also wenn ich die Folge (1,2,3,4,5,6 ... (Ist doch eine Folge oder?)) habe dann ist z.B. 2 eine PArtialsumme?

Ja das wäre z.B. eine Folge. Die 1. Partialsumme wäre dann 1.
Die 2. Partialsumme ist dann 1 + 2.
Die 3. Partialsumme ist dann 1 + 2 + 3.
usw.

Interessant ist sowas bei den kehrwerten der natürlichen Zahlen. Dies führt zu der sogenannten harmonischen Reihe:
$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^n~\frac 1 k \end{eqnarray*}$

24.01.2007, 12:07

mazeli

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Also wenn ich die Folge habe 1,2,3,4,5,6....

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^n~a_k \end{eqnarray*}$

und die obenstehende Vorschrift.

dann n = 3 setze. Dann ist meine Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_3 = \end{eqnarray*}$ 1+2+3 = 6???

und das ist dann die Reihe zu meine Folge?

Somit ist ne Reihe nur ein Ausschnitt einer Folge?

24.01.2007, 12:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von mazeli
...
dann n = 3 setze. Dann ist meine Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_3 = \end{eqnarray*}$ 1+2+3 = 6???

Ja.

Zitat:

Original von mazeli
und das ist dann die Reihe zu meine Folge?

Die Reihe zu der Folge (a_n) ist die Folge (s_1, s_2, s_3, ....), wobei $\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=1}^n~a_k \end{eqnarray*}$ ist. s_3 = 6 ist ein Element dieser Reihe.

Zitat:

Original von mazeli
Somit ist ne Reihe nur ein Ausschnitt einer Folge?

Kann man so nicht sagen. Ein Ausschnitt aus einer Folge wäre für mich eine Teilfolge. Also zum Beispiel ist (1,3,5,...) eine Teilfolge der Folge (1,2,3,4,5,6,...)

Um es nochmal zu sagen: die Reihe ist die Folge der Summen der Folgenglieder. Dabei ist das n-te Element der Reihe die Summe der ersten n Folgenglieder.

24.01.2007, 12:59

mYthos

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Ich würd' dennoch sagen, das ist bereits Schulmathematik.

mY+

24.01.2007, 13:05

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Kommt drauf an, ob man dann in die Konvergenzkriterien einsteigt.

Also noch würde ich es bei der Hochschule sehen, obwohl wir uns bislang noch auf Schulniveau bewegen.

24.01.2007, 18:13

mazeli

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bis ich zu den Konvergenzkriterien komme dauerts denke ich wohl noch.

Aber hab das glaub jetzt soweit verstanden.

Meine Glieder der Reihe sind die Summe der Folgenglieder einer Folge.

also wenn ich die Folge habe 1,2,3,4,5
dann ist mein erstes Reihenglied 1, das zweite ist 3, das dritte 6 usw

dann ist die Reihe 1,3,6,10,15 usw oder?

Wenn das so stimmt dann wär das endlich mal ein kleiner durchbruch :-)

25.01.2007, 08:54

klarsoweit

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Soweit ok. Freude

Übrigens: eine weithin bekannte Reihe ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

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