Ableitung Textaufgabe |
| 25.04.2012, 20:22 | Matthies111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Ableitung Textaufgabe Zwei Einzelhöfe A und B liegen in einer Entfernung a rechts und links von einer geraden Straße, und zwar einander genau gegenüber. Sie sollen vom Nachbardorf einen Internetanschluss erhalten, der größtenteils als Hauptkabel längs der Straße laufen soll. Welchen Wert hat x in der Zeichnung, d. h., wo muss das Kabel sich in zwei Einzelleitungen aufteilen, die von der Straße zu den beiden Höfen abzweigen, wenn 1 m Einzelleitung einen Bruchteil q (0,5 < q < 1) der Hauptleitung kostet und die Kosten möglichst niedrig sein sollen? Hinweis: Weder die Kosten p pro verlegtem Meter noch die Entfernung L zum Nachbarort sind bekannt. Definieren Sie die zu minimierende Kostenfunktion unter Verwendung dieser unbekannten Größen p und L. Im Endergebnis fallen diese Größen dann heraus: Das optimale x hängt in der Tat nur von a und q ab. Meine Ideen: Leider habe ich keine Idee wie ich an die Aufgabe herangehen kann, ich wäre wirklich dankbar, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte. |
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| 26.04.2012, 08:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Ableitung Textaufgabe Du könntest ja mal die Kostenfunktion aufstellen. 
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| 26.04.2012, 08:58 | Matthies111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Ableitung Textaufgabe hmm, da geht es ja schon los... ich hänge leider total... vermustlich auf jeden fall: K(x)= q*x Ich weiß wirklich nicht, wie ich da die anderen Parameter mit reinbringen kann. Später müsste ich die Kostenfunktion dann ableiten, um die Minimalkosten herauszufinden, oder? |
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| 26.04.2012, 09:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Ableitung Textaufgabe
Vermutungen helfen uns nicht weiter. Diese Funktion hätte für x >= 0 bei x=0 ihr Minimum, wie man leicht sieht.
Ja. Mach dir mal eine Skizze und überlege, wie lang die Strecken sind, wo das dicke und wo das dünne Kabel verlegt wird. |
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| 26.04.2012, 10:21 | Matthies111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Ableitung Textaufgabe anbei die Zeichnung... es bringt mich leider wenig weiter, wenn du mir nur aufzeigst, wie einfach das ganze ist. Wenn es für mich so einfach wäre, dann würde ich hier nicht nachfragen.
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| 26.04.2012, 11:25 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Ableitung Textaufgabe Was noch fehlt, ist die Länge L vom linken Startpunkt der Hauptleitung bis zu dem Punkt, wo "Straße" steht. Welche Länge hat die Hauptleitung und welche Kosten ergeben sich daraus? |
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| 26.04.2012, 14:25 | Matties111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Ableitung Textaufgabe Da die Länge laut Aufgabe ja nicht weiter definiert ist, kann man die Angaben nur allgemien machen. Kosten = (L+x)*p wobei p = die Kosten pro Meter sind. richtig? |
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| 26.04.2012, 14:47 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Ableitung Textaufgabe
Eher doch wohl: Kosten_HL = (L-x)*p Nun gut. Jetzt brauchst du noch die Kosten für die Einzelleitungen. |
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| 26.04.2012, 18:36 | Matthies111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Ableitung Textaufgabe Kannst du mir kurz erklären, warum ich das abziehen muss? Müsste ich nicht eigenltich x gar nicht mit einbeziehen? dh. Kosten=L*p? Die Hauptleitung endet ja vor dem "x-Stück". Die Einzelleitung lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: (x²+a²)*p=c² |
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| 27.04.2012, 08:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Ableitung Textaufgabe
Dann müßtest du mal definieren, was mit der Länge L gemessen wird. Ich habe das für meinen Teil getan, aber das hat dich anscheinend nicht sonderlich beeindruckt. Außerdem sollte es einleuchten, daß die Kosten der Hauptleitung irgendwie auch von der Strecke x abhängen müssen.
Das geht in die richtige Richtung, ist aber im Ergebnis falsch. Denk nochmal darüber nach, wie die Länge einer Einzelleitung berechnet wird. |
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| 30.04.2012, 14:17 | Jocki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mein Ansatz dazu wäre auch: (L-x)+2q*Wurzel aus (a²+x²) Jedoch bin ich der Meinung, dass die billigste Variante der Verkabelung dann vorliegt, wenn x=0 und q=a wäre. Denn zwei Einzelleitungen sind per Definition immer teurer als die gleiche Strecke Hauptkabel. Das kürzeste q wäre aber doch a, also sin alpha für Bauer A, bzw. sin -alpha für Bauer B...oder versteh' ich da jetzt was falsch?!? Gruß Jocki |
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| 30.04.2012, 14:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Gleichung q=a ist sinnlos, da a eine Strecke und q das Verhältnis Einzelleitungskosten / Hauptleitungskosten angibt.
Du vergißt aber dabei, daß du bei dem Weg über die Hypothenuse zwar mehr Einzelleitung brauchst, aber dafür weniger Hauptleitung. Und wenn 2 Einzelleitungen kaum teurer sind als die Hauptleitung, dann sind die Einzelleitungen kostengünstiger. |
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| 30.04.2012, 15:00 | Jocki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du hast Recht, ich wollte eigentlich ausdrücken: Kosten q*a*2
Auch das ist nach nochmaliger Betrachtung nicht von der Hand zu weisen. Hab mich nie zu Wort gemeldet; meinen Beitrag bitte vergessen ;-) Wäre aber dennoch auf einen Lösungsansatz gespannt, denn selbst komme ich ehrlich gesagt auch nicht dahinter Gruß Jocki |
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| 30.04.2012, 15:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wo ist das Problem? Du hast doch bis auf den fehlenden Faktor p, der sich aber im Laufe der weiteren Rechnung eh rauskürzt, die Kostenfunktion richtig aufgestellt. |
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| 30.04.2012, 15:42 | Jocki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das Problem ist, dass ich jetzt nicht wüsste was p ist. Sind damit die Gesamtkosten gemeint, oder die Kosten für das Haupt- bzw. Einzelkabel. Im Gesamtfall würde das denke ich bedeuten: p=(L-x)+2q*Wurzel aus (a²+x²) Aber es ist doch interessant, und auch Aufgabe, zu wissen, wie groß x im günstigsten Fall ist. Ansatz hierzu: keine Ahnung, ehrlich gesagt. Ab einer gewissen Länge und Winkel, sowie einem angenommenen Preis <1 (z.B. 0,9) sind aber die zwei Einzelleitungen teuerer (bei einem angenommenen Preis von 1 für die Hauptleitung), also muss es irgendwo einen Extremwert von x geben, richtig? Falls ja: 1.Ableitung bilden um waagrechte Tangente zu ermittlen, ok...aber ich habe keine Idee für die richtige Funktion, von der abzuleiten wäre... Sorry übrigens, dass ich mich in den Thread eingemischt habe ;-) Gruß Jocki |
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| 30.04.2012, 15:49 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
p sind die Kosten pro Meter Hauptkabel. Steht auch so in der Aufgabe.
So ist es. Natürlich braucht man die richtige Kostenfunktion, aber soweit weg davon bist du ja nicht.
Wir werden es überleben. 
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| 30.04.2012, 16:52 | Jocki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn p die Kosten für das Hauptkabel darstellt, dann lautet die Funktion doch f(x)=p(L-x)+2q*Wurzel aus(a²+x²). Dient also zur Errechnung der Kosten für das Hauptkabel abzüglich x zzgl. der Kosten für die Einzelkabel...nee, sinnlos, komm nicht drauf, auf welche Gleichung ich hier eine 1.Ableitung verwenden soll. Wenn ich die genannte als richtig voraussetze und ausmultipliziere, kommen ja unmögliche Werte raus... Trotzdem schönen Dank für die Hilfestellung Gruß Jocki |
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| 02.05.2012, 08:37 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Man muß den AUfgabentext schon genau lesen. q ist ein dimensionsloser Faktor, der für die Einzelleitungen auf den Kostenfaktor p draufmultipliziert wird. Richtig ist daher: f(x) = p(L-x) + 2q*p*Wurzel aus(a²+x²) |
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| 04.05.2012, 16:32 | Jocki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und da ist schon das nächste Problem: Jetzt muss ich eine 1. Ableitung von dieser Gleichung bilden, aber wie? Ausmultiplizieren/quadrieren bringt den Wegfall von p und ansonsten (für mich) nichts Nachvollziehbares |
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| 05.05.2012, 18:27 | Matthies111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmm, ich habe das auch versucht, davon die Ableitung zu bilden, aber wie du auch schon gesagt hast, komme ich auch zu keinem ergebnis.... |
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| 06.05.2012, 11:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Welches Ergebnis hast du denn bei der Ableitung? Ich bin kein Hellseher und kann dir nur helfen, wenn du etwas konkreter wirst. |
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| 06.05.2012, 12:33 | Matthies111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich schreibe mal grob meinen Weg auf, vielleicht findet sich da schon der Fehler. p(L-x)+2qp*Wurzel aus (a²+x²) = 0 2qp*wurzel aus (a²+x²) = -p(L-x) Wurzel aus (a²+x²) = - (L-x) / 2q (das p kürzt sich raus) a²+x² = - (L²-2Lx+x²) / 4q² (nach dem quadrieren, nun den Bruch auflösen) 4q²a² + 4q²x² = - L² + 2Lx - x² (nun alles auf eine Seite bringen) 4q²a² + 4q²x²+L² -2Lx +x² = 0 das ganze nun ableiten: F´(x) = 8q²x - 2x - 2L f´(x) = 4q²x - x - L |
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| 06.05.2012, 14:43 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaube, du hast hier grundsätzlich etwas falsch verstanden. Wir brauchen nicht die Nullstelle der Kostenfunktion, sondern deren Minimum. Also mußt du erst die Kostenfunktion ableiten und dann von der Ableitung die Nullstellen bestimmen. |
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| 06.05.2012, 19:18 | Matthies111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
dann habe ich aber das Problem dass ich nicht weiß wie ich aus einer Wurzel heraus ableite ... deshalb hatte ich versucht das vorher etwas zu vereinfachen.... |
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| 07.05.2012, 11:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du die Wurzel(x) ableiten kannst, dann geht das problemlos mit der Kettenregel. Wenn ihr das bislang nicht hattet, dann hast du in der Tat ein Problem. |
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