a posteriori Verteilung - Seite 2

26.04.2012, 21:27

Gast11022013

Das ist aus dem Georgii oder?

Kannst Du mir noch meine Frage beantworten, wie ich die totale W.keit berechne, wenn zum Beispiel X stetig ist und die apriori diskret?

Dann müsste ich doch was haben mit:

Summe von Integralen?

26.04.2012, 21:35

Math1986

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Kann ich, wenn du mir dafür eine konkrete Aufgabe lieferst.

Ja, im Georgii ist das recht gut erklärt und hergeleitet

26.04.2012, 21:39

Gast11022013

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Ich habe gerade keine konkrete Aufgabe, leider.

Aber ich frage mich einfach, wie man das berechnet.

In dem Fall, daß die apriori stetig ist, soll ja im Nenner stehen (bei der Dichte):

$\begin{eqnarray*} \int_{\Theta}f(x|\theta')g(\theta')d\theta' \end{eqnarray*}$

Das ist doch die Dichte, die zu der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ gehört, oder?

Es will mir einfach nicht klar werden (seit gestern schon) wie sich dieser nenner ergibt! also im hinblick darauf, daß er irgendwas mit der totalen wahrscheinlichkeit zu tun hat...

ich glaube ich muss es demnächst aufgeben ich werde langsam wahnsinnig

26.04.2012, 21:46

Gast11022013

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Totale W,keit bedeutet doch, daß man rechnet:

$\begin{eqnarray*} P(X|y_1)P(y_1)+P(X|y_2)P(y_2+.... \end{eqnarray*}$ oder?

Ist jetzt X diskret verteilt und die apriori stetig:

entsteht doch sowas wie

$\begin{eqnarray*} \sum p(x)\int f(y)dy+\sum p(x)\int f(y).... \end{eqnarray*}$

oder nicht?

26.04.2012, 21:52

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010

In dem Fall, daß die apriori stetig ist, soll ja im Nenner stehen (bei der Dichte):

$\begin{eqnarray*} \int_{\Theta}f(x|\theta')g(\theta')d\theta' \end{eqnarray*}$

Das ist doch die Dichte, die zu der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ gehört, oder?

Wenn deine Schätzfunktion diskret ist, dann ist die A-Posteriori-Verteilung eben auch diskret, d.h. dein x darf nur diskrete Werte annehmen, sonst ist alles analog.

26.04.2012, 21:55

Gast11022013

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Was meinst Du mit Schätzfunktion?

edit: achso du meinst damit die apriori

26.04.2012, 21:58

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Was meinst Du mit Schätzfunktion?

Die Verteilung, die deiner Schätzung zugrundeliegt.

Was meinst du mit deinem X, hast du das irgendwo definiert oder ist das vom Himmel gefallen?

Zitat:

Original von Dennis2010

edit: achso du meinst damit die apriori

NEIN! Das ist was völlig anderes.

26.04.2012, 22:02

Gast11022013

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Zitat:

Original von Dennis2010
Totale W,keit bedeutet doch, daß man rechnet:

$\begin{eqnarray*} P(X|y_1)P(y_1)+P(X|y_2)P(y_2+.... \end{eqnarray*}$ oder?

Ist jetzt X diskret verteilt und die apriori stetig:

entsteht doch sowas wie

$\begin{eqnarray*} \sum p(x)\int f(y)dy+\sum p(x)\int f(y).... \end{eqnarray*}$

oder nicht?

Das X sei die Stichprobenvariable und die sei diskret.

Also um es jetzt mal zu einem Ende zu bringen:

Bei der totalen Wahrscheinlichkeit summiert man die Produkte aus bedingten Wahrscheinlichkeitebn mit den Wahrscheinlichkeiten des bedingenden Ereignissen.

Wenn X diskret ist und Y stetig, hat man dann als totale Wahrscheinlichkeit eine Summe von Produkten aus Summen und Integralen?

26.04.2012, 22:06

Math1986

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Letztere Formel stimmt so einfach nicht!

Lies dir das durch was ich dir geschrieben habe! Und die Beispiele! ALLE!

26.04.2012, 22:07

Gast11022013

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Also steht ich wieder beim Anfang.

Den nenner kapiere ich nicht.

(Ich muss wohl aufgeben, leider)

27.04.2012, 11:22

Gast11022013

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Du hast Post. :-)

27.04.2012, 16:39

Gast11022013

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Hallo, da es mir widerstrebt, aufzugeben, habe ich im Dateianhang meine neuen Ideen aufgeschrieben.

Hat jemand Lust sie anzugucken und mir zu helfen?

(Math1986 ist derzeit nicht online oder anders beschäftigt oder - auch nicht unwahrscheinlich - etwas genervt von mir (wenn ja, dann zurecht..).)

27.04.2012, 19:00

Math1986

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Ich bin nicht genervt, habe nur viel anderes zu tun.

Zu deinem Bericht: Du schreibst:
$\begin{eqnarray*} P(Y =\theta_0\mid X=x) \end{eqnarray*}$
Ist $\begin{eqnarray*} \theta_0 \end{eqnarray*}$ nun ein konkreter Parameter oder ein Element $\begin{eqnarray*} \theta_0\in\Theta \end{eqnarray*}$ ? Das solltest du noch aufschreiben, in letzterem Fall macht es nämlich keinen Sinn, darüber zu integrieren. Integrieren kann man nur über Mengen:
$\begin{eqnarray*} P(\theta_0)=\int_{\theta_0}g(y)dy \end{eqnarray*}$
Im stetigen Fall ist also insbesondere die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Parameters gleich 0.

Poste den Rest mal im Forum, PDF ist nicht kopierfreundlich.

27.04.2012, 19:04

Gast11022013

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Danke für den Hinweis.

Über die Schreibweise war ich mir in der Tat nicht so sicher.

Was sagst Du denn ansonsten so dazu? Macht das alles einigermaßen Sinn?

(Insbesondere diese Berechnungen der totalen W.keiten?)

Oder ist das Nonsens?

27.04.2012, 19:06

Math1986

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Hm, du hast da irgendwo noch ein paar Dreher, poste das mal alles im Forum.

27.04.2012, 19:18

Gast11022013

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Okay, gerne.

In der Bayes'schen Statistik geht es u.a. darum, einen Parameter $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, für den man apriori (also vor Erhebung einer Stichprobe) ein (stetiges oder diskretes) Wahrscheinlichkeitsmaß annimmt. D.h. man nimmt für die Verteilung des Parameters $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ ein Zählmaß oder eine Dichte an, die sog. apriori-Dichte bzw. das apriori-Zählmaß, z.B. $\begin{eqnarray*} g(\theta) \end{eqnarray*}$ genannt.

Dann erhebt man eine Stichprobe und möchte das dadurch hinzugewonnene Wissen benutzen, um eine "`neue"' Dichte bzw. ein "`neues"' Zählmaß aufzustellen, die sog. aposteriori-Dichte bzw. aposteriori-Zählmaß.

Dazu verwendet man den Satz von Bayes (im Folgenden sei $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die ZV, die für den Parameter $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ steht und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die ZV, die die Stichprobe beschreibt):

$\begin{eqnarray*} \underbrace{P(Y=\theta_0~|~X=x)}_{P_{x}(\theta_0)}=\frac{P(X=x~|~Y=\theta_0)P(\theta_0)}{P(X=x)} \end{eqnarray*}$

Angenommen, daß man den Parameter $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ als stetig verteilt annimmt und daß $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ebenfalls als stetig verteilt angenommen wird, so ist

$\begin{eqnarray*} P(\theta_0)=\int_{\theta_0}g(y)\, dy \end{eqnarray*}$
mit Dichte g und

$\begin{eqnarray*} P(X=x~|~Y=\theta_0)=P_{\theta_0}(x)=\int_{x\in A\subseteq\mathcal{F}}f_{\theta_0}(x)\, dx \end{eqnarray*}$

mit Dichte f.
$\begin{eqnarray*} P(X=x) \end{eqnarray*}$ im Nenner ist die totale Wahrscheinlichkeit, bei deren Bestimmung ich mir nicht sicher bin, ob ich alle Schritte richtig habe:
$\begin{eqnarray*} P(X=x)&=\sum_{\theta\in\Theta}P(X=x~|~Y=\theta)P(\theta)\\ &=\sum_{\theta\in\Theta}P_{\theta}(X=x)\int_{\theta}g(y)\, dy\\ &=\sum_{\theta\in\Theta}\int_{A}f_{\theta}(x)\, dx\int_{\theta}g(y)\, dy\\ &=\sum_{\theta\in\Theta}\int_{A}\int_{\theta}f_{\theta}(x)g(y)\, dy\, dx\\ &=\int_{A}\sum_{\theta\in\Theta}\int_{\theta}f_{\theta}(x)g(y)\, dy\, dx\\ &=\int_{A}\int_{\Theta}f_{\theta}(x)g(\theta)\,d\theta\,dx \end{eqnarray*}$
Insgesamt ergibt sich also:
$\begin{eqnarray*} P(Y=\theta_0~|~X=x)=\frac{\int_{A}f_{\theta}(x)\, dx\int_{\theta_0}g(\theta_0)\, dy}{\int_{A}\int_{\Theta}f_{\theta}(x~|~\theta)g(\theta)\, d\theta} \end{eqnarray*}$
Wenn man die Dichten betrachtet, hat die aposteriori-Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(Y=\theta_0~|~X=x) \end{eqnarray*}$ also die Dichte:
$\begin{eqnarray*} h(\theta_0~|~x)=\frac{f_{\theta_0}(x)g(\theta_0)}{\int_{\Theta}f_{\theta}(x)g(\theta)\, dy} \end{eqnarray*}$
Im Fall, daß man die apriori-Verteilung als diskret annimmt (und X zum Beispiel auch diskret verteilt ist, wie ich jetzt mal annehme), erhält man ziemlich analog:
$\begin{eqnarray*} P(X=x~|~Y=\theta_0)=\sum_{x\in A}p(x) \end{eqnarray*}$
mit Zähldichte p und
$\begin{eqnarray*} P(\theta_0)=\sum_{y\in\theta_0}q(y) \end{eqnarray*}$
mit Zähldichte q und
$\begin{eqnarray*} P(X=x)=\frac{\sum_{x\in A}p_{\theta_0}(x)\sum_{y\in\theta_0}q(y)}{P(X=x)} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} P(X=x)&=\sum_{\theta\in\Theta}\sum_{x\in A}p_{\theta}(x)\sum_{y\in\theta}q(y)\\ &=\sum_{\theta\in\Theta}\sum_{x\in A}\sum_{y\in\theta}p_{\theta}(x)q(y)\\ &=\sum_{x\in A}\sum_{\theta\in\Theta}\sum_{y\in\theta}p_{\theta}(x)q(y)\\ &=\sum_{x\in A}\sum_{\theta\in\Theta}p_{\theta}(x)q(\theta) \end{eqnarray*}$
Betrachtet man die Dichten, ergibt sich als aposteriori-Dichte also:
$\begin{eqnarray*} h(\theta_0~|~x)=\frac{p_{\theta_0}(x)q(\theta_0)}{\sum_{\theta\in\Theta}p_{\theta}(x)q(\theta)} \end{eqnarray*}$

Habe ich gar nicht dran gedacht, daß man aus pdf nicht gut kopieren kann.

Kannst Du mir sagen, wo ich "Dreher" habe?

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