Eigenwert

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25.04.2012, 22:33	secret_sense	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert Meine Frage: Hi. Ich habe ein Problem mit dem Berechnen der Eigenwerte folgender Matrix B. Ich führe einfach mal alle Schritte die ich bisher gemacht habe auf. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} a & t & 0 \\ t & b & t \\ 0 & t & a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(A-\lambda E)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \begin{vmatrix} a-\lambda & t & 0 \\ t & b-\lambda & t \\ 0 & t & a-\lambda \end{vmatrix} =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \Rightarrow (a-\lambda )(b-\lambda )(a-\lambda ) -t^2(a-\lambda ) -t^2(a-\lambda ) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \Rightarrow (a-\lambda )[(a-\lambda )(b-\lambda ) -2t^2] = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lambda _1 = a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (a-\lambda )(b-\lambda ) -2t^2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lambda^2 - \lambda (a+b) + (ab-2t^2) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \Rightarrow \lambda_{2/3} = \frac{(a+b)\pm \sqrt{(a+b)^2-4(ab-2t^2)} }{-2} \end{eqnarray}$ betrachten der Wurzel: $\begin{eqnarray} <br /> (a+b)^2-4(ab-2t^2) = a^2 +2ab+b^2 -4ab+ 8t^2 = (a-b)^2+8t^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \Rightarrow \lambda_{2/3} = \frac{(a+b)\pm \sqrt{(a-b)^2+8t^2} }{-2} \end{eqnarray}$ Jetzt ist halt die Frage ob man das noch vereinfachen kann. Gegeben war a,b,t sind Elemente von R. Ursprünglich dachte ich man könne die Wurzel vielleicht als $\begin{eqnarray} \|z\| \end{eqnarray}$ interpretieren und das irgendwie komplex verknüpfen, da die aber alle in R liegen geht das nicht oder? >.< Bin hier etwas auf dem Schlauch. Liebe Grüße
26.04.2012, 09:34	secret_sense	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm was ich noch gefunden habe ist dass die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray} \lambda^2- \lambda (a+b) + (ab-2t^2) = 0 \end{eqnarray}$ eine hyperbolische Funktion ist. Hilft das irgendwie weiter?
26.04.2012, 12:04	secret_sense	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir denn wirklich keiner helfen? Mein Tutor hat nur geantwortet er gibt keine Hilfestellung und ich suche seit über 6h eine Lösung.
26.04.2012, 12:14	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist nicht klar, wieso Du den Term auf Teufel komm raus noch weiter vereinfachen willst. Aufgrund des darin vorkommenden t dürfte es recht unwahrscheinlich sein, eine einfachere Darstellung zu finden. Analytisch fällt mir zumindest nichts ein und es über irgendwelche Sonderfunktionen zu schreiben, bringt normalerweise auch nicht mehr außer eine kompaktere Ansicht, mit der sich im allgemeinen aber nicht besser rechnen lässt. Bestimmt hast Du die Eigenwerte ja.
26.04.2012, 12:26	secret_sense	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein eben nicht. Ich habe keine Eigenwerte. Ich muss die Eigenvektoren berechnen. Naja und mit dem Wust weiterzurechnen kann doch kaum richtig sein >.<
26.04.2012, 12:41	Mäxxchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso überhaupt $\begin{eqnarray} det(A - \lambda E) \end{eqnarray}$ ? Ich hab das mal so gelernt: $\begin{eqnarray} det(\lambda I_n - A) \end{eqnarray}$ Wobei I die Einheitsmatrix meint und n für die Anzahl der Zeilen steht. Damit komm ich natürlich schon im ersten Schritt auf andere Vorzeichen als du...
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26.04.2012, 12:43	soase	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du keine Eigenwerte hast, was hast du denn dann ausgerechnet? Dass du Eigenvektoren berechnen sollst schreibst du zum ersten Mal. Wie wäre es also die komplette Aufgabenstellung hier reinzustellen. Und man hat für ein Übungsblatt in der Regel eine Woche Zeit zum Bearbeiten, da sind 6 Stunden gar nichts.
26.04.2012, 12:54	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mäxchen: Bis auf das Vorzeichen ändert sich nichts an der Aufgabe, also sind die Nullstellen dieselben. Es gibt unterschiedliche Definitionen für das charakteristische Polynom, aber beide führen auf dieselben Nullstellen. @secret_sense: Dann würde ich Dich dringend bitten die genaue Aufgabenstellung zu posten und nicht nur die Matrix mit deiner Rechnung. Ohne einen Zusammenhang zwischen den a,b,t ist es nicht möglich die Eigenwerte (die Du sehrwohl hast!) weiter zu vereinfachen und somit ist es äußerst schwierig die zugehörigen Einenvektoren zu bestimmen.
26.04.2012, 12:55	secret_sense	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A\vec{x} =\lambda\vec{x} <br /> \Rightarrow A\vec{x} =\lambda E\vec{x} <br /> \Rightarrow A\vec{x} -\lambda E\vec{x} =0<br /> \Rightarrow (A-\lambda E)\Rightarrow =0<br /> \Rightarrow det(A-\lambda E) =0<br /> \end{eqnarray}$ natrülich bekommst du es anderstrum wenn du A nach rechts ziehst, dies müsste allerdings äquivalent sein .... Ich habe nicht gesagt dass ich die Eiegnvektoren berechnen soll, da ich nicht wusste dass das für die Eigenwerte relevant ist .... Insgesamt lautet die Aufgabe einfach gegeben Matrix B. Berechne die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren. Wobei a,b,t E R Natürlich sind 6h nicht viel, wenn du das aber hochrechnest schon, da dies Teil b) von Aufgabe 1 mit 4 Teilen ist und noch 2 weitere Aufgaben mit je 5 Unterpunkten auf dem Blatt stehen. Für Aufgabe c braucht man wiederum die Eigenvektoren aus b. EDIT(Helferlein): Latexklammer richtig gesetzt.
26.04.2012, 13:12	secret_sense	Auf diesen Beitrag antworten »
die Eigenwerte der Matrix B hängen natürlich von der Parametern a,b und t ab. Zunächst musst Du erstere über das charakteristische Polynom der Matrix bestimmen. Anschließend muss Du dann für den allgemeinen Fall, d.h. für beliebige Werte von a,b und t, die Eigenwertgleichungen lösen, um die Eigenvektoren zu erhalten. Deren Komponenten hängen dann natürlich auch von a,b und t ab. Das hab ich jetzt noch vom Tutor bekommen nach mehrmaligem Nachfragen. Wenn ich also bis dahin nichts falsch gemacht hab muss ich jetzt die Eigenvektoren für die berechneten Eigenwerte berechnen. Da ihr anscheinend auch keine Vereinfachung findet muss das wohl so sein :/ Danke fürs mitdenken (fürs Klammer setzen und Post löschen auch >.<)
26.04.2012, 13:46	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Vermutlich wird es etwas kürzer und übersichtlicher, wenn Du den Eigenwert erst einmal mit $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{a+b}2+c \end{eqnarray}$ ansetzt, da sich die Wurzel ja eh nicht mit den Einträgen von B aufhebt. Im übrigen ist das Minus im Nenner falsch, ist aber bislang niemanden aufgefallen

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