Exponentialfunktion

26.04.2012, 15:22

Anni82

Exponentialfunktion

Hallo Ihr lieben,

ich habe eine Frage zu zwei Übungsaufgaben zum Thema Exponentialfunktionen...
Irgendwie scheine ich auf dem Schlauch zu stehen

Hier die erste:

Eine Bakterienkultur vermehrte sich in 4 Minuten von 2 Mio. auf 18 Mio.
a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung wenn t in Minuten gerechnet wird
und berechnen Sie die Anzahl der nach 15 Minuten vorhandenen Bakterien.
b) Um wie viel % wächst die Kultur pro Minute?

meine Überlegung hierzu
$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)= a*q^{t} \end{eqnarray*}$
q ist $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{p}{100} \right) \end{eqnarray*}$
und für p habe ich 900 eingesetzt weil es von 2 auf 18mio 900% sind
also q = 10

aber dann habe ich $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=2*10^{t} \end{eqnarray*}$

die 2 als Anfangswert - aber das kommt doch nicht hin oder?

die zweite:
Das Radon-Isotop Rn-219 hat eine Halbwertszeit von ca. 4s.
Am Anfang sind 100 g vorhanden.
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung (t in s).
b) Um wie viel % verringert sich die Menge Rn pro Sekunde?
c) Wie viel % der Ausgangsmenge sind nach einer halben Minute übrig?

hier habe ich gerechnet:
$\begin{eqnarray*} \frac{y}{2} = y*x^{4} \end{eqnarray*}$
x= 0,84
also $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=100*0,84^{t} \end{eqnarray*}$

für b: 0,84^{1} ( da für 1sec.)
= 0,84 -> 84%
100-84= 16
der zerfall beträgt 16% pro sekunde

c: hier war ich total verwirrt und habe einfach den zerfall pro sekunde aus b * 30 gerechnet und 480% raus - aber so einfach ist es bestimmt nicht smile

Ich hoffe ihr habt ein paar tips ....

DANKE

26.04.2012, 15:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion

Zitat:

Original von Anni82
meine Überlegung hierzu
$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)= a*q^{t} \end{eqnarray*}$
q ist $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{p}{100} \right) \end{eqnarray*}$
und für p habe ich 900 eingesetzt weil es von 2 auf 18mio 900% sind
also q = 10

aber dann habe ich $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=2*10^{t} \end{eqnarray*}$

die 2 als Anfangswert - aber das kommt doch nicht hin oder?

Wenn du das so machst und dabei noch t in Minuten mißt, dann hast du pro Minute ein Wachstum mit dem Faktor 10.

Wie man aber leicht an der Aufgabe ablesen kannst, hast du da pro 4 Minuten einen Faktor von 9. smile

26.04.2012, 15:32

Anni82

Auf diesen Beitrag antworten »

also p=2,25 und q somit 3,25?

26.04.2012, 15:49

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Wenn du die Formel q = (1 + p/100) nimmst, müßte dann q = 1,0225 sein.
2. Solltest du dich mal nur um das q kümmern.
3. ist q immer noch falsch, wenn du dir mal den Stand nach 4 Minuten anschaust.

26.04.2012, 15:59

Anni82

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry ich komme irgendwie nicht weiter:
wenn ich für 4 minuten eine faktor von 9 habe dann ist es bei 1minute ein faktor von 2,25 - ist dann q einfach 2,25?

irgendwie fehlt mir gerade der Geistesblitz... die zweite Aufgabe mit der Halbwertszeit fand ich irgendwie einfache - was auch nicht heisst das sie richtig ist
....

26.04.2012, 16:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Anni82
wenn ich für 4 minuten eine faktor von 9 habe dann ist es bei 1minute ein faktor von 2,25 - ist dann q einfach 2,25?

Das ist falsch. Anscheinend hast du das Wesen der Exponentialfunktionen noch nicht verstanden. Wenn q = 2,25 wäre, dann hättest du

$\begin{eqnarray*} f(t) = a \cdot 2,25^t \end{eqnarray*}$ und somit f(0)=a und $\begin{eqnarray*} f(4) = a \cdot 2,25^4 = a \cdot 25,6289 \end{eqnarray*}$ und somit nicht das 9-fache vom Anfangswert.

26.04.2012, 16:13

Anni82

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f\left(18\right)= 2*q^{t} \end{eqnarray*}$

Macht es denn so mehr sinn?
Sorry das ich mich so dumm anstelle aber leider komme ich mit dem wachstumsfaktor so nicht weiter - ausser das ich weiss das es falsch ist ....

26.04.2012, 21:18

Rabbi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
$\begin{eqnarray*} f(t=4)/a = q^? \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(t=4)/a =q^? \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Anni82
Hallo Ihr lieben,

ich habe eine Frage zu zwei Übungsaufgaben zum Thema Exponentialfunktionen...
Irgendwie scheine ich auf dem Schlauch zu stehen

Hier die erste:

Eine Bakterienkultur vermehrte sich in 4 Minuten von 2 Mio. auf 18 Mio.
a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung wenn t in Minuten gerechnet wird
und berechnen Sie die Anzahl der nach 15 Minuten vorhandenen Bakterien.
b) Um wie viel % wächst die Kultur pro Minute?

meine Überlegung hierzu
$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)= a*q^{t} \end{eqnarray*}$
q ist $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{p}{100} \right) \end{eqnarray*}$
...

1. Es muß heißen: $\begin{eqnarray*} f\left(t\right)= a\cdot q^{t} \end{eqnarray*}$
mit a = Anfangsbestand zur Zeit t = 0 $\begin{eqnarray*} \left(a = 2\cdot 10^6 \right) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f \left(t=1\right) = q\cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f \left(t=2\right) = q \cdot f \left(t=1\right) = q \cdot q \cdot a = q^2 \cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vdots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(t=4)=\cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{f(t=4)}{a} = q^? \end{eqnarray*}$

27.04.2012, 08:26

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Exponentialfunktion
Dieses schrittweise Herantasten an f(4) kann man sich natürlich auch sparen. Wenn man den (richtigen) Ansatz $\begin{eqnarray*} f(t) = a \cdot q^t \end{eqnarray*}$ verwendet, dann folgt sofort, daß $\begin{eqnarray*} f(4) = a \cdot q^4 \end{eqnarray*}$ ist.

Da die Werte von a als auch von f(4) bekannt sind, kann man leicht aus $\begin{eqnarray*} f(4) = a \cdot q^4 \end{eqnarray*}$ das q bestimmen.

Neue Frage »

Antworten »

Exponentialfunktion

Verwandte Themen