Pascal'sche Identität per Ind. über n

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NeoLexx Auf diesen Beitrag antworten »
Pascal'sche Identität per Ind. über n
Hallo zusammen Wink , wie bereits aus dem Titel hervorgeht gilt es die Pascal'sche Identität zu beweisen.
Ich stelle zunächst die Aufgabe, wie sie mir vorliegt, dar:

Aufgabenstellung: Zeigen sie durch Induktion über n und mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die Pascal'sche Identität





Das war die gesamte Aufgabenstellung.

Es ergibt sich:

geschockt

Ich habe mir bisher folgendes überlegt:

Es gilt . (Wurde mal in einer Vorlesung bewiesen.)

Ich habe mir die rechte Seite der Pascal'schen Identität angeschaut und sie nach dem binomischen Lehrsatz als Summenformel konstruiert:



Als nächstes habe ich vor diesen Ausdruck durch voll. Ind. zu beweisen.

Meine Frage an euch ist nun, ob ich das so machen darf. Immerhin habe ich ja die linke Seite der vorgegebenen Pascal'schen Identität gar nicht beachtet. (Die ist mir einfach zu kompliziert)
Valdas Ivanauskas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pascal'sche Identität per Ind. über n
Zitat:
Original von NeoLexx
Als nächstes habe ich vor diesen Ausdruck durch voll. Ind. zu beweisen.

Zur Übung ist das sicher ne feine Sache - nur bringt Dich das hinsichtlich der Aufgabenstellung nicht wirklich weiter. Außerdem geht's ja nur um die Anwendung einer bereits bewiesenen Aussage.
Zitat:
Original von NeoLexx
Meine Frage an euch ist nun, ob ich das so machen darf. Immerhin habe ich ja die linke Seite der vorgegebenen Pascal'schen Identität gar nicht beachtet. (Die ist mir einfach zu kompliziert)

Unter Nichtbeachtung der linken Seite wird das mit dem Beweis nix!

Frag Dich lieber mal worüber Du eigentlich induzieren willst. (q und n stünden da zur Verfügung)
NeoLexx Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Aufgabe soll ich über n induzieren. Und in der Aufgabenstellung steht ebenfalls geschrieben, dass ich den binomischen Lehrsatz zur Hilfe verwenden soll.
Nun ja, ich dachte mir schon, dass es so wie ich mir das vorgestellt habe nicht legitim ist. Vielleicht kann ich ja den Doppel-Sigma-Ausdruck so umformen, dass am ende eine binominal Lehrsatz-Formel raus kommt. Ich wüsste aber nicht wie.
Valdas Ivanauskas Auf diesen Beitrag antworten »

Dann fang doch mal mit dem Induktionsanfang an.
NeoLexx Auf diesen Beitrag antworten »

Induktionstart n=1




Diesen Satz hier hatten wir mal:


Ist bis auf die -1 am ende identisch. Aber ich weiß nicht wie mich das jetzt weiter bringen soll.. . verwirrt
Valdas Ivanauskas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NeoLexx

Diesen Satz hier hatten wir mal:


Ist bis auf die -1 am ende identisch. Aber ich weiß nicht wie mich das jetzt weiter bringen soll.. . verwirrt

Da steht's doch schon fast...


Wende doch mal den binomischen Lehrsatz an auf

.

Da solltest Du auf eine Summe stossen, bei der Du den letzten Summanden mal genauer angucken und dann auf die anderes Seite der Gleichung bringen könntest.


Der Induktionsschritt hält übrigens keinerlei weitere Komplikationen bereit und lässt sich bequem in einer (maximal 2) Zeilen abhandeln.
 
 
NeoLexx Auf diesen Beitrag antworten »



Ah, okay habs verstanden beide seiten sind gleich.



Dann versuche ich mal den Induktionschritt... . Danke für die Hilfe bisher.. Freude
NeoLexx Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Zwischenfrage:

Ist das hier gleich:

Valdas Ivanauskas Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, aber versuch's mal damit:



Auf die erste Summe der rechten Seite kannst Du die IV loslassen und auf die zweite den binom. Lehrsatz (wie im IA).
NeoLexx Auf diesen Beitrag antworten »

Mist, das war ein schreibfehler. Hatte das vergessen.. . Okay weiter.
NeoLexx Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, habe wohl wieder etwas falsch gemacht:







eigentlich sollte da sowas rauskommen:



oder nicht?
Valdas Ivanauskas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Valdas Ivanauskas
Nö, aber versuch's mal damit:



Auf die erste Summe der rechten Seite kannst Du die IV loslassen und auf die zweite den binom. Lehrsatz (wie im IA).


Vorsicht!

Es ist

NeoLexx Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so:



und



Nun gut, danke für deine Hilfe. Der Rest ergibt sich ja von selbst. Mit Zunge
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Valdas Ivanauskas
Zur Übung ist das sicher ne feine Sache - nur bringt Dich das hinsichtlich der Aufgabenstellung nicht wirklich weiter. Außerdem geht's ja nur um die Anwendung einer bereits bewiesenen Aussage.

Das kann man nur unterstreichen: Denn wenn man schon den binomischen Lehrsatz verwenden darf, dann kann man getrost auf die Induktion verzichten und das ganze direkt erledigen - ist sogar fast noch kürzer als allein der Induktionsschritt von eben. Augenzwinkern
Valdas Ivanauskas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Valdas Ivanauskas
Zur Übung ist das sicher ne feine Sache - nur bringt Dich das hinsichtlich der Aufgabenstellung nicht wirklich weiter. Außerdem geht's ja nur um die Anwendung einer bereits bewiesenen Aussage.

Das kann man nur unterstreichen: Denn wenn man schon den binomischen Lehrsatz verwenden darf, dann kann man getrost auf die Induktion verzichten und das ganze direkt erledigen - ist sogar fast noch kürzer als allein der Induktionsschritt von eben. Augenzwinkern


Das stimmt schon - aber obiges Zitat von mir enthält die Einschränkung "hinsichtlich der Aufgabenstellung" nicht rein zufällig.
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