Hypothesentest - Aufgabe: wie kann ich n und k bestimmen und nur p gegeben ist??

26.04.2012, 16:10

sunny901

Hypothesentest - Aufgabe: wie kann ich n und k bestimmen und nur p gegeben ist??

Meine Frage:
Hallo, brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
Beim Elektronikhändler sind Kartons mit Transistoren durcheinander geraten. Enthält ein Karton Bauteile 1. Wahl so haben 10% der Bauteile Normabweichungen, bei den anderen Kartons liegt dieser Anteil bei 40%.
In einem Alternativtest soll daher die Hypothese H0: p=0,4 gegen die Alternativhypothese H1: p=0,1 getestet werden.
Es soll ein Test gestaltet werden, der sicherstellt, dass der Fehler, einen Karton 1. Wahl falsch einzustufen, unter 15% liegt und der Fehler, einen anderen Karton als 1. Wahl einzustufen, 5% nicht überschreitet.
Bestimmen Sie einen möglichst geringen Stichprobenumfang und die passende Entscheidungsregel.

Meine Ideen:
Aus dem Text hab ich folgendes rausgelesen:
H0:
F(n;0,4;k) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0,05

H1:
F(n;0,1;k)< 0,15

dann habe ich in der kommulierten Tabelle nach einem geeigneten n-Wert geschaut und folgendes festgellt:

Bei n=19 ist die Wahrscheinlichkeit für H0 bei k $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 3 unter 5%.
Bei n=19 ist die Wahrscheinlichkeit für H1 bei k=0 unter 15%.

Das erscheint mir nicht sehr sinnvoll, da man bei einem Karton 1. Wahl zufällig ein fehlerhaftes Bauteil von den 10% erwischen könnte und dann den Karton falsch einstuft.

Deshalb hab ich mich für n=50 entschieden.
Hier gilt für H0 k $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 13, wenn die Wahrscheinlichkeit <5% ist
Und für H1 gilt k $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 2
Das würde für H1 bedeuten:
F(50;0,1;k $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 2)=0,1117=11,77%
damit ist die Bedingung erfüllt
Hat man mehr als 2 fehlerhafte Teile ist es kein Karton 1. Wahl

So weit so gut - ABER, jetzt fängt mein Problem an:
Für H0 bedeutet dieser Ansatz:
F(50;0,4;k $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 13)=0,0280=2,80%
Das beeinhaltet doch, dass k die Werte von 0 bis 13 durchlaufen kann
das geht meiner Ansicht nach nicht, weil die Werte bei H1 bereits 0,1 oder 2 sein können
Deshalb müsste ich mit k>2 rechnen, sodass man sich bei den Werten 3 bis 50 für einen Karton mit 40% Ausschuss entscheiden würde
Weil man in der Tabelle immer nur von 0 bis x schauen kann, nehme ich bei k>2 den kleineren Wert und ziehe ihn von 1 ab:
1-F(50;0,4; $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1)=
--> Problem: In der Tabelle ist dieser Wert zu klein zum Ablesen

Im Unterricht haben wir bei einer anderen ähnlichen Aufgabe k berechnet, weil ich mit dem Ansatz oben nicht weiterkomme, dachte ich so kann ich das bei meiner Aufgabe auch rechnen führt aber auch nicht zum richtigen Ergebnis und verstehen tu ichs auch nicht.
Hier das Beispiel:
F(20;0,75;k) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0,05
(der Lehrer hat das einfach über die Misserfolgswahrscheinlichkeit ausgedrückt. z.B. 20 erfolge=0Misserfolge und da k die Anzahl der treffer ist, kommt das 20-k zustande)
F(20;0,25;20-k) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0,05
1-F(20;0,25;20-(k+1)) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0,05
(k+1 kommt zustande weil man 20-k in der tabelle nicht ablesen kann und deswegen den kleineren wert nimmt)
F(20;0,25;20-(k+1)) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0,95
Jetzt haben wir in der tabelle den k-Wert für n=20, p=0,25 abgelsen, dessen Prozentzahl geringer als 0,95 ist. k war demnach 8.
die 8 haben wir eingesetzt und k berechnet:
20-(k+1)=8
k=13

Wenn ich das bei meiner Aufgabe versuche erhalte ich k=26 und es kann wirklich nicht sein, dass man bei einer Stichprobe von 50 aus einem Karton mit 40% fehlerhaften teilen erst nach der hälfte davon ausgeht dass es kein karton 1.wahl ist

Ich hoffe das ist nicht zu verwirrend, habe versucht meine Ansätze relativ klar zu beschreiben. Das Problem ist, ich rechne und rechne, probiere andere Wege aber komme trotzdem nicht zu einem logischen Ergebnis. Ich kann auch nicht sagen, wo eventuelle Denkfehler sitzen, deswegen wäre ich sehr dankbar für jede Hilfe smile

lg sanni

26.04.2012, 18:02

Huggy

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RE: Hypothesentest - Aufgabe: wie kann ich n und k bestimmen und nur p gegeben ist??

Zitat:

Original von sunny901
H0:
$\begin{eqnarray*} F(n;0,4;k) \leq 0.05 \end{eqnarray*}$

Das ist richtig. Bei gegebenem n bekommst du aus dieser Ungleichung den kritischen Wert $\begin{eqnarray*} k_c \end{eqnarray*}$ . Das ist das größte k, für das die Ungleichung gilt. Und wenn in der Stichprobe vom Umfang n dann $\begin{eqnarray*} k \leq k_c \end{eqnarray*}$ ist, wird $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ abgelehnt. Bei $\begin{eqnarray*} k > k_c \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ nicht abgelehnt.

Zitat:

F(n;0,1;k)< 0,15

Aber das ist falsch. Du musst jetzt ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit bei dem oben bestimmten $\begin{eqnarray*} k_c \end{eqnarray*}$ ist, einen Karton 1. Wahl falsch einzustufen. Ein Karton 1. Wahl liegt vor, wenn p = 0.1 ist. Er wird falsch eingestuft, wenn $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ nicht abgelehnt wird. Du musst also

$\begin{eqnarray*} P(k > k_c|p = 0.1) \end{eqnarray*}$

berechnen und die Forderung ist

$\begin{eqnarray*} (*) \quad P(k > k_c|p = 0.1) < 0.15 \end{eqnarray*}$

Mit der Gegenwahrscheinlichkeit kannst das auf die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung zurückführen.

Du beginnst also mit einem n und bestimmst dafür $\begin{eqnarray*} k_c \end{eqnarray*}$ . Dann prüfst du, ob für dieses n und $\begin{eqnarray*} k_c \end{eqnarray*}$ die Bedingung (*) erfüllt ist. Ist sie nicht erfüllt, vergrößerst du n solange, bis sich $\begin{eqnarray*} k_c \end{eqnarray*}$ ändert. Mit dem neuen n und dem neuen $\begin{eqnarray*} k_c \end{eqnarray*}$ prüfst du wieder (*) usw.
Ist bei dem ersten n (*) schon erfüllt, gehst du umgekehrt vor. Du verkleinerst n, bis sich $\begin{eqnarray*} k_c \end{eqnarray*}$ ändert und prüfst dann, ob (*) immer noch erfüllt ist usw.

29.04.2012, 14:47

sunny901

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Dankeschön für die antwort. jetzt verstehe ich auch wo mein fehler ist, das hat mir sehr weitergeholfen smile

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