Ist IN offen oder abgeschlossen?

26.04.2012, 18:11

Kallemeister

Ist IN offen oder abgeschlossen?

Meine Frage:
Hey

also die Frage ist ob die metrischen Räume kompakt sind.
E1 = [0,+ $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ), E2 = (0,+ $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ), E3 = $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , E4 = {n+ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ,n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ }
Metrik ist d(x,y)=|x-y|.

Meine Ideen:
Nun ist mir klar, dass die Räume abgeschlossen und beschränkt sein müssen. Doch weiß ich nicht genau wie ich das nachweisen kann.

Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?

26.04.2012, 19:17

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RE: Ist IN offen oder abgeschlossen?

Zitat:

Original von Kallemeister
Nun ist mir klar, dass die Räume abgeschlossen und beschränkt sein müssen. Doch weiß ich nicht genau wie ich das nachweisen kann.

Hmm... ja, das stimmt unter bestimmten Umständen. Hier stimmt's und ich vermute, dass das auch eure Definition war, also ok.

Beschränktheit bekommst du hin, oder?
Offen geht eigentlich ganz gut: Offen ist eine Menge genau dann, wenn du um jeden Punkt eine offene Kugel von Radius epsilon legen kannst (das ist über die Metrik definiert), die auch in der Menge liegt. Beweisen kannst du das zum Beispiel, indem du die entsprechende Kugel für jeden Punkt ANGIBST.
Abgeschlossen geht dann am besten, indem man zeigt, dass das Komplement offen ist.
Die Definition nachzuweisen ist meistens blöd: "der Grenzwert einer Folge mit Elementen aus der Menge liegt in der Menge" - das ist ja das Abgeschlossenheitskriterium. Nun, "alle Folgen" sind relativ schwer zu handhaben. Wenn die Menge NICHT abgeschlossen ist, kann man meist einfach eine Folge angeben, deren Grenzwert nicht in der Menge liegt (siehe bspw. E2).

Noch eine Frage: Bist du dir bei deinen Beispielen sicher? Denn offenbar haben alle Räume beliebig große Zahlen, was Kompaktheit unter der gegebenen Metrik ziemlich unmöglich macht...

Gruß
MI

26.04.2012, 19:54

Kallemeister

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Also die Bsp sind eine Übungsaufgabe, also geh ich mal davon aus, dass es mind. eine kompakte Menge gibts. Wenn das nicht zu trifft dann muss ich ja trotzdem nachweisen, dass es nicht so ist.

26.04.2012, 19:57

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Nicht mit der Metrik. Du kannst sofort für jeden der Räume eine Folge finden, die divergiert - also sind die Räume nicht beschränkt.

Vielleicht beginnst du damit einfach?
Dann kannst du mal versuchen meinen Hinweisen zum Zeigen von Offen/Abgeschlossen nachzugehen. Wenn du nicht weiterkommst, helfe ich mit weiteren Tipps. smile

Gruß
MI

26.04.2012, 20:24

Kallemeister

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So nach dem offen/abgeschlossen - Prinzip bin ich jetzt dazu gekommen, dass :
E1, E4 abgeschlossen sind
E2, E3 offen sind

hoffe das ist richtig so

26.04.2012, 20:26

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Mit E1 und E2 hast du Recht. E3 und E4 musst du mir erklären (vielleicht deine Überlegungen?).

Gruß
MI

26.04.2012, 20:31

Kallemeister

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Naja bei E3 hab ich mehr oder weniger geraten.
E4 habe ich mir gedacht da $\begin{eqnarray*} n+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ einen bestimmten Punkt ergibt, handhabt man diesen genauso, wie die Nullmenge $\begin{eqnarray*} {0} \end{eqnarray*}$ . Diese ist ja bekanntlich auch abgeschlossen.

Obwohl wenn ich drüber nachdenke ist die Nullmenge sowohl offen als auch abgeschlossen glaube ich, oder?

26.04.2012, 20:48

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Das kommt eben genau auf die Metrik an. Da du E3 und E4 anders behandelst, wollte ich die beiden erklärt haben, da sie doch mehr oder weniger dasselbe sind. Ich hätte erwartet, dass E4 irgendwie einen Häufungspunkt oder so etwas geben soll - aber entweder ich bin schon zu müde, oder den gibt's wirklich nicht.

Also schauen wir uns doch mal 3 an. Einfach der Definition nach:
Abgeschlossen ist die Menge, wenn das Komplement offen ist (wobei ich davon ausgehe, dass diese Mengen immer als Teilmengen von IR angesehen werden sollen!).
Komplement von IN, dass ich IN^c nenne: $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^c:= (-\infty,0)\cup \bigcup_{i=0}^{\infty} (i,i+1) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt sind alle Intervalle offen, also ist die gesamte Menge offen.

Ausführlicher: Wir nehmen einen Punkt x im Komplement. Da es keine natürliche Zahl ist, gibt's zwei Möglichkeiten: Entweder, es ist eine negative Zahl, dann liegt x in der Kugel $\begin{eqnarray*} (2\cdot x,0)\subset\mathbb{N}^c \end{eqnarray*}$ , oder es ist eine positive Zahl, dann gibt es (da es keine natürliche Zahl ist) eine natürliche Zahl k (dass solltet ihr irgendwann mal gezeigt haben), sodass $\begin{eqnarray*} k<x<k+1 \end{eqnarray*}$ . Damit liegt x in der Menge $\begin{eqnarray*} (x-\min (d(x,k),d(x,k+1))/2, x+\min(d(x,k),d(x,k+1))/2)\subset \mathbb{N}^c \end{eqnarray*}$ (zum Beispiel).
Also haben wir gezeigt, dass jeder Punkt der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^c \end{eqnarray*}$ ein innerer Punkt ist, also ist die Menge offen. Also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt E4 - die Mengen sehen unschöner aus, aber das könntest du doch auch noch hinbekommen!

Bedenke immer: Was offen und was abgeschlossen ist, hängt von der Metrik (bzw. der Topologie) ab. Ich weiß nicht genau, was du mit "der Nullmenge" meinst.

Gruß
MI

26.04.2012, 20:55

Kallemeister

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Das tut mir leid, ich hatte mich falsch ausgedrückt mit Nullmenge war natürlich die leere Menge {0} gemeint.

26.04.2012, 21:28

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Naja, wie du dir jetzt vielleicht klarmachen kannst, ist die Menge abgeschlossen - deine erste Idee war also schon nicht falsch smile

.

Gruß
MI

26.04.2012, 21:30

Kallemeister

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Nun hab ich nochmal nachgeschaut für die leere Menge gilt sowohl offen als auch abgeschlossen smile

26.04.2012, 22:11

Kallemeister

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Nun gut ich werd jetzt mal alles versuchen smile

Ich danke dir für deine Hilfe Freude

26.04.2012, 22:24

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Zitat:

Original von Kallemeister
Nun hab ich nochmal nachgeschaut für die leere Menge gilt sowohl offen als auch abgeschlossen smile

Das ist richtig - und zeigt, dass du an deiner Notation arbeiten muss und ich an meiner Genauigkeit Augenzwinkern

.

Ich hatte $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ als "Nullmenge" gelesen und überlesen, dass du von "leerer Menge" sprachst. $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ ist jedoch die Menge mit dem Element Null ist (und NICHT die leere Menge) - diese Menge ist abgeschlossen in IR. Die leere Menge (entweder $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ ) ist selbstverständlich sowohl abgeschlossen, als auch offen, was man im Grunde auch an den Definitionen sehen kann:
- jeder Punkt ist innerer Punkt (gibt halt keine drin)
- jede Folge konvergiert in der Menge (gibt halt keine).

Gruß
MI

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