Bsp.-Aufgabe zum Wurzelkriterium & Eulersche Zahl

26.04.2012, 18:39

Sunset90

Bsp.-Aufgabe zum Wurzelkriterium & Eulersche Zahl

Hey Leute,
Ich habe mir in meinem Mathebuch folgende Beispielaufgabe zum Wurzelkriterium angesehen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac {(k+1)^{k^2}} {k^{k^2} \cdot 2^k} \end{eqnarray*}$

Durch anwenden des Wurzelkriteriums ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt [k]{\left| \frac {(k+1)^{k^2}} {k^{k^2} \cdot 2^k} \right|} = \frac {1} {2} \left(1 + \frac {1} {k} \right)^2 \rightarrow \frac {e}{2} > 1 \end{eqnarray*}$

Die Umformungsschritte konnte ich alle nachvollziehen. Mein Problem ist nun, dass ich nicht verstehe wieso dort in der Lösung die Eulersche Zahl $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ auftaucht.
Ich habe rausgefunden dass sie sich ausdrücken lässt als $\begin{align*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{align*}$

Aber dann müsste in der Lösung der Ausdruck in der Klammer doch eigentlich mit k potenziert werden, also:
$\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac {1} {k} \right)^k \end{eqnarray*}$

oder irre ich mich?

26.04.2012, 18:51

original

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RE: Bsp.-Aufgabe zum Wurzelkriterium & Eulersche Zahl
.
richtig gerechnet wird da stehen:
Durch anwenden des Wurzelkriteriums ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt [k]{\left| \frac {(k+1)^{k^2}} {k^{k^2} \cdot 2^k} \right|} = \frac {1} {2} \left(1 + \frac {1} {k} \right)^k \rightarrow \frac {e}{2} > 1 \end{eqnarray*}$

also:
..du irrst dich NICHT !

................................. smile

26.04.2012, 19:00

Sunset90

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Aber durch das Ziehen der k-ten Wurzel, verschwindet doch das k aus der Potenz, dachte ich.
Wieso müsste dann bei richtiger Rechnung das k als Potenz dort stehen, und nicht die 2 ?

EDIT:
Vielleicht rechne ich lieber nochmal nach bevor ich blöde Fragen stelle smile

Die Lösung, die ich dort angegeben habe, stammt so jedenfalls aus dem Buch.

26.04.2012, 19:02

original

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..
weil bei den Termen unter dem Wurzelzeichen der Exponent k^2 =k*k heisst ... (und nicht 2*k)

ok?

26.04.2012, 19:07

Sunset90

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Achso,... okay.
Also kann ich mal davon ausgehen, dass sich in dem Buch ein Fehler eingeschlichen hat?

EDIT:
Zu dem Buch gibts ne Internetseite mit Berichtigungen von bekannten Fehlern.
Dort stehts genauso wie Du es gesagt hast!

Vielen Dank, hast mir geholfen Augenzwinkern

26.04.2012, 19:11

original

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Zitat:

Original von Sunset90
Achso,... okay.
Also kann ich mal davon ausgehen, dass sich in dem Buch ein Fehler eingeschlichen hat?

.
.............. Ja - mit Sicherheit .. kannst ausgehen! ........ smile

26.04.2012, 19:44

Sunset90

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Eine Frage noch,

warum muss es in diesem Fall heißen k*k?
Laut Rechenregeln für Potenzen heißt es doch:

$\begin{eqnarray*} (x^p)^q = x^{p \cdot q} \end{eqnarray*}$

Bei dieser Aufgabe sieht es ja eher so aus:

$\begin{eqnarray*} (x)^{p^q} \end{eqnarray*}$

Gilt dann immer ein anderes Gesetz?

26.04.2012, 19:55

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} x^{p^q} \end{eqnarray*}$ ist per Festlegung dasselbe wie $\begin{eqnarray*} x^{\left( p^q \right)} \end{eqnarray*}$ , was i.a. NICHT dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} \left( x^p \right)^q \end{eqnarray*}$ .

Siehe Potenzturm.

26.04.2012, 20:00

Sunset90

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Ah dann ist alles klar, Danke Dir ! smile

Von dem Gesetz steht leider gar nichts in unseren Vorlesungs-Folien.

26.04.2012, 20:04

HAL 9000

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Es ist kein Gesetz, es ist eine Festlegung (also Definition): Bei fehlenden Klammern werden solche Potenztürme stets "von oben nach unten" abgearbeitet.

Das ist eine überaus vernünftige Festlegung: Denn bei Abarbeitung von unten nach oben fällt die Notwendigkeit eines solchermaßen definierten Potenzturmes gerade eben wegen der Regel $\begin{eqnarray*} \left(x^p \right)^q = x^{p \cdot q} \end{eqnarray*}$ völlig weg - klar also, dass man die andere Auffassung (wo keine solche Vereinfachung möglich ist) gewählt hat. Augenzwinkern

26.04.2012, 20:29

Mystic

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Lustigerweise kennen nicht alle CAS diese Konvention: Maple z.B. nicht, Derive ist dagegen auch hier wieder einmal vorbildlich... Augenzwinkern

26.04.2012, 20:59

HAL 9000

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Viele Systeme verfahren offenbar stur nach der Regel: Bei gleichrangigen Operationen immer "von links nach rechts".

Was bei Subtraktion wie etwa $\begin{eqnarray*} a-b-c \end{eqnarray*}$ durchaus vernünftig ist, stimmt dann eben bei $\begin{eqnarray*} a^{b^c} \end{eqnarray*}$ nicht mehr. Augenzwinkern

Und zur "umgekehrten" Kodierung der Potenz (also per c^b^a) konnte sich dann doch keiner durchringen. Big Laugh

26.04.2012, 21:21

Mystic

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Ja, bei Operationen gleicher Priorität gilt i.allg. die sog. "Linksassoziativät", also die Abarbeitung von links nach rechts... Es gibt aber durchaus auch einige wenige Beispiele für "Rechsassoziativität", das vielleicht wichtigste ist in C-Sprachen die Mehrfachzuordnung, wie z.B. x=y=z=1 ...

01.05.2012, 19:59

Sunset90

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Ableiten mit Wurzeln
Hey Leute, ihr habt mir ja schon ein paar mal weitergeholfen, dafür nochmal Danke!
Das mit dem Potenzturm hab ich vorher noch nie gehört (oder ich bin im entscheidenden Moment mal anderweitig beschäftigt gewesen :P )

hab mal wieder ne kleine Frage, ich bin beim Ableiten mit Wurzeln noch etwas unsicher.
Schreibe übrigens hier im Thread weiter damit ich nicht für jede Kleinigkeit einen Neuen eröffnen muss, hoffe das ist okay!?

Es geht um die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac {1}{\sqrt [2] {x}} = x^{\frac {-1}{2}} \end{eqnarray*}$

So, das hab ich dann folgendermaßen abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac {-1}{2}\cdot x^{\frac{-3}{2}} = \frac{-1}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt [2]{x}} = \frac{-3}{2\cdot\sqrt [2]{x}} \end{eqnarray*}$

Ist das in Ordnung oder hab ich irgendwo einen Fehler?

01.05.2012, 20:52

Sunset90

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Habe mich gerade durchs Forum geklickt und rausgefunden, dass $\begin{eqnarray*} x^{\frac{-3}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

Also muss das richtige Ergebnis lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\cdot x^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich nur etwas verwirrt.

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{-1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} =\frac {1}{\sqrt {x}} \end{eqnarray*}$

deshalb hab ich daraus geschlossen, dass $\begin{eqnarray*} x^{\frac{-3}{2}} = \frac{3}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ ist.

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