explizite darstellung von k^3

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Epsylontensor Auf diesen Beitrag antworten »
explizite darstellung von k^3
Meine Frage:
Hallo an alle!

Ich hänge gerade an einer Aufgabe. Wir sollen die Summenformal von k^3 \sum\limits_{k=1}^n k^3 in die explizite Darstellung umschreiben. Leider fehlt mir hierzu bereits der Ansatz. Weiß jemand die expliziete Darstellung von k^3 und wie ich darauf komme? Die explizite Darstellung für k^2 liegt mir bereits vor. Leider weiß ich aber auch hierfür die Herleitung nicht. Ich freue mich auf eure Vorschläge :-)

Meine Ideen:
Ansatz fehlt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die findest Du in jeder besseren Formelsammlung und im Internet.
Wenn Du sie Dir selber erarbeiten willst, dann nimm Dir die fünf ersten Ergebnisse und konstruiere daraus ein Polynom. Danach wendest Du Induktion als Nachweis an.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Alternativvorschlag, der vielleicht etwas interessanter ist, als ein Beweis mit vollständiger Induktion und wo man auch etwas mehr "sieht", wie die Formel zustande kommt, besteht daran, dass man die ersten paar Glieder der Folge der Kuben hinschreibt, davon die Diferenzenfolge bildet, davon wieder die Differenzenfolge und noch ein ein drittes mal, also etwa wie folgt

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
f:=l->[seq(l[i]-l[i-1],i=2..nops(l))]; l -> [seq(l[i] - l[i - 1], i = 2 .. nops(l))] 

L:=[seq(k^3,k=0..10)];
                     [0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000] 
f(L);            
                     [1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271] 
f(f(L));               
                     [6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54] 
f(f(f(L)));
                     [6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6]


Das Bildungsgesetz der 3.Differenzenfolge ist unmittelbar ersichtlich... Daraus musst du dann die anderen Folgen Zug um Zug rekonstruieren (Stichwort: Teleskoptrick!)...
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