Grenzwert einer Folge

26.04.2012, 19:44	miniradio	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge Hallo, folgende Folge macht mir Probleme: Aufgabe: Berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen. Begründen Sie Ihre Zwischenschritte. [attach]24181[/attach] Egal wie ich die Folge umforme, ich bekomme immer etwas divergentes heraus. Jedoch wenn ich mir die Folge mal zeichnen lasse als Funktionsgraph, sieht man das es einen Grenzwert bei ca. -10 gibt: [attach]24182[/attach] Folgende Ansätze hatte ich: 1. $\begin{eqnarray} lim (a_n) = lim (b_n) - lim (c_n) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} (b_n) = n^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (c_n) = \sqrt{n^4 + 20n^2+7} \end{eqnarray}$ So hätte man jedoch unendlich - unendlich. 2. n^4 aus dem Term der Wurzel ausklammern und vor die Wurzel schreiben, also: $\begin{eqnarray} (a_n) = n^2-\sqrt{n^4(1 + 20/n^2+7/n^4)} \end{eqnarray}$ , bzw: $\begin{eqnarray} (a_n) = n^2-n^2\sqrt{1 + 20/n^2+7/n^4} \end{eqnarray}$ , bzw: $\begin{eqnarray} (a_n) = n^2(1-\sqrt{1 + 20/n^2+7/n^4}) \end{eqnarray}$ Wobei der Term in der Klammer dann gegen 0 gehen würde und das n^2 gegen unendlich, was mich jedoch auch nicht weiter bringt. Ich hoffe ihr habt nen kleinen Tipp für mich
26.04.2012, 19:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Tipp ist nahezu jedesmal derselbe bei solchen Differenzen von Quadratwurzelausdrücken: Dritte binomische Formel $\begin{eqnarray} a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \end{eqnarray}$ verwenden, d.h. in der Ausprägung $\begin{eqnarray} a-b = \frac{a^2-b^2}{a+b} \end{eqnarray}$ .
26.04.2012, 20:09	miniradio	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Muss man erstmal drauf kommen
27.04.2012, 20:24	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kann man bei Aufgaben dieser Art auch oft mit dem Einschließungskriterium argumentieren. Das bringt den Vorteil ohne die Stetigkeit der Wurzel argumentieren zu können. Erkauft werden muss dieser Vorteil durch eine der Ungleichungen zwischen arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel. Im gegeben Fall folgt damit: $\begin{eqnarray} n+10=\sqrt{(n+10)^2}\geq\sqrt{n^2+20n+7}\geq\sqrt{n(n+20)}\geq\frac 2{\frac 1n+\frac 1{n+20}}=n+10-\frac {100}{n+10}. \end{eqnarray}$ Und damit hat man: $\begin{eqnarray} -10\leq n-\sqrt{n^2+20n+7}\leq -10+\frac {100}{n+10}. \end{eqnarray}$
27.04.2012, 20:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre wünschenswert, wenn die Studenten über ein derart großes Repertoire verfügen, dass sie aus dementsprechend zahlreichen Varianten der Argumentation wählen könnten. Aber wie ich selbst erst neulich gesehen habe, werden die kurzen eleganten Wege lieber nicht beschritten - wohl weil man lieber auf vertrautem Terrain bleiben will. Geht ja im Grunde genommen auch so in Ordnung.

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