diam(B(x,r)) = 2r

26.04.2012, 19:48

MurphysLaw

diam(B(x,r)) = 2r

Meine Frage:
Hey,
Also, ich soll zeigen, dass in einem normierten Vektorraum (X, ||.||) gilt:
Für die r-Umgebung $\begin{eqnarray*} B(x,r) := {y \in X : ||x-y|| \leq r} \, \, \, \, r \geq 0 \, \, x \in X \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} diam(B(x,r)) = 2r \, \, \, \, \forall x \in X r \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} diam(B(x,r)) \leq 2r \end{eqnarray*}$ ist ist ja recht einfach zu zeigen indem man die Norm als Metrik benutzt, also
$\begin{eqnarray*} u,v,w \in B(x,r) \\ ||u-v|| = ||u-w+w-v|| \leq ||u-w|| + ||w-v|| \leq r + r = 2r \end{eqnarray*}$
Was mir jetzt fehlt ist die andere Richtung, und dafür habe ich auch absolut keine Idee wie ich das angehen könnte, oder reicht es diese Richtung zu zeigen und zu argumentieren, dass mit $\begin{eqnarray*} diam(A) := sup ||x-y||, \, \, \, x,y \in A \end{eqnarray*}$
Nur die kleinste obere Schranke betrachtet wird und da alle u und v die in diesem Kreis liegen nicht weiter auseinander liegen können?

26.04.2012, 22:01

IfindU

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RE: diam(B(x,r)) = 2r
Hier mal die Idee für den Ball um 0.
Betrachte die Folge $\begin{eqnarray*} (x_k) \subset X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|x_k \| \to r \end{eqnarray*}$ . Die Normeigenschaft ist auch für $\begin{eqnarray*} (-x_k) \end{eqnarray*}$ erfüllt. Wie ist dann der Abstand zwischen den Folgengliedern der beiden Folgen?

Edit: Bei deiner Abschätzung meinst du wohl $\begin{eqnarray*} w = x \end{eqnarray*}$

Edit2: Sehe gerade, dass deine Bälle abgeschlossen und nicht offen sind. Dann kann man sich natürlich den ganzen Spaß mit der Folge sparen.

27.04.2012, 02:04

MurphysLaw

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Ich bin mittlerweile auf $\begin{eqnarray*} 2r \geq ||u-w|| + ||w-v|| \geq ||u-v|| \geq 2r - e \end{eqnarray*}$ gekommen, bin mir aber nciht sicher, ob das nicht ne Sackgasse ist...

27.04.2012, 06:52

tmo

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RE: diam(B(x,r)) = 2r

Zitat:

Original von IfindU
Edit2: Sehe gerade, dass deine Bälle abgeschlossen und nicht offen sind. Dann kann man sich natürlich den ganzen Spaß mit der Folge sparen.

Nichtdestotrotz sollte man noch eine entscheidende Sache anmerken: Es ist noch zu zeigen, dass solch ein Punkt überhaupt existiert, d.h. dass wir überhaupt einen Punkt in der Kugel finden, der genau den Abstand r hat.

Das ist zunächst gar nicht selbstverständlich, weil in metrischen Räumen z.b. falsch.

27.04.2012, 13:16

IfindU

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RE: diam(B(x,r)) = 2r

Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von IfindU
Edit2: Sehe gerade, dass deine Bälle abgeschlossen und nicht offen sind. Dann kann man sich natürlich den ganzen Spaß mit der Folge sparen.

Danke für die Anmerkung. Habe in letzter Zeit zu viel mit normierten Räumen gearbeitet, und man gewöhnt sich so schnell an die Homogenität der Norm.

@Murphyslaw
mit allgemeinen Abschätzungen wirst du nicht weiter kommen. Du musst explizit x und y wählen, um an das (mögliche) Supremum dran zu kommen.

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