partielle Ableitung und totales Differential

26.04.2012, 20:16

Jessica19

partielle Ableitung und totales Differential

Hallo, habe mich an eine Funktionen versucht, kann sie jemand bitte für mich nach Richtigkeit kontrollieren?

Aufgabe lautet:
Das totale Differential einer Funktion von $\begin{eqnarray*} z=f(x,y) \end{eqnarray*}$ lautet $\begin{eqnarray*} dz=(\frac{dz}{dx})_{y}&dx+(\frac{dz}{dy})_{x}dy \end{eqnarray*}$

Bilden Sie das totale Differential der Funktionen.

$\begin{eqnarray*} z=x^{2}+\frac{1}{4}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dz=\frac{\partial z}{\partial x^{2}}dx+\frac{\partial z}{\partial\frac{1}{4}y}dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial x^{2}}=(\frac{dz}{dx^{2}})_{\frac{1}{4}y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial \frac{1}{4}y}=(\frac{dz}{d\frac{1}{4}y})_{x} \end{eqnarray*}$

26.04.2012, 23:43

Abakus

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RE: partielle Ableitung und totales Differential

Zitat:

Original von Jessica19
$\begin{eqnarray*} dz=\frac{\partial z}{\partial x^{2}}dx+\frac{\partial z}{\partial\frac{1}{4}y}dy \end{eqnarray*}$

Hallo,

schau dir mal die korrekte Schreibweise an. Diese hier macht wenig Sinn.

Letztendlich sind die beiden partiellen Ableitungen deiner Ausgangsfunktion zu bilden und das ist dann zusammenzustellen.

Abakus smile

27.04.2012, 00:16

Mads85

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Nein. Du musst zuerst die Funktion z einfach nach x ableiten, wobei der Term mit y als Konstante betrachtet wird. Danach die Funktion z nach y ableiten, wobei der Term mit x als Konstante betrachtet wird.

Also ich helf dir mal kurz bei den partiellen Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} z = x^{2}+\frac{1}{4}y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 0 \end{eqnarray*}$

der Term mit y wird zu null, da y bei der Ableitung nach x als Konstante betrachtet wird und die Ableitung einer Konstanten null ergibt!

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial z}{\partial y} = 0+ \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Hier wird der Term mit x zu null, da x bei der Ableitung nach y als Konstante betrachtet wird und die Ableitung einer Konstanten null ergibt!

a) Kannst du das totale Differential damit hinschreiben?

b) Hast du das Grundprinzip der partiellen Ableitung verstanden?

c) Die Vorgehensweise ist immer die Gleiche. Du bildest zuerst die Ableitung deiner Funktion nach x dann nach y und schreibst dir dann das totale Differential anhand der Standardformel auf!

27.04.2012, 00:30

Jessica19

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Zitat:

Original von Mads85

a) Kannst du das totale Differential damit hinschreiben?

b) Hast du das Grundprinzip der partiellen Ableitung verstanden?

c) Die Vorgehensweise ist immer die Gleiche. Du bildest zuerst die Ableitung deiner Funktion nach x dann nach y und schreibst dir dann das totale Differential anhand der Standardformel auf!

Hallo, danke für deine Hilfe!!
Ich war schon am verzweifeln. Also ich weiß nicht genau wie ich das totale Differential überhaupt bilden soll, nachdem wir jetzt diese Gleichung partiell abgeleitet haben. Die partielle Ableitung verstehe ich nun, danke. Aber wie bilde ich nun bitte das totale Differential?

27.04.2012, 13:40

Mads85

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Naja die Formel für das totale Differential ist doch:

$\begin{eqnarray*} (1) dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy \end{eqnarray*}$

und du hast

$\begin{eqnarray*} (2) \frac{\partial z}{\partial x} = 2x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (3) \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

nun setze (2) und (3) in Gleichung (1) ein und du hast dein totales Differential.

Vom Prinzip her einfach immer die gleiche Vorgehensweise, du musst nur wissen wie man die partielle Ableitung nach x und y bildet und wie man das totale Differential hinschreibt.

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