Bilinearform-Matrizen Ausartungsraum Rang

27.04.2012, 00:21	crowd	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform-Matrizen Ausartungsraum Rang Meine Frage: Hallo zusammen, habe da eine Schwierigkeit beim berechnen des Ausartungsraums V(s). Folgendes habe ich bisher herausgefunden: Ausgehend von einer quadratischen Formen habe ich mir meine Bilinearform zusammen gebastelt und die wäre dann: s(v,w)= $\begin{eqnarray} x^{T} A * y \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} x^{T} * \begin{pmatrix} 1 & b & c \\ -b & -1 & f \\ 1-c & -f & 0 \end{pmatrix} * y \end{eqnarray}$ (kurze Zwischenfrage: Ist es richtig, wenn man durch eine quadratische Form zur Bilinearform kommt, dass diese dann symmetrisch ist? Und müsste in diesem Fall die Matrix auch symmetrisch sein? Meine ist es ja leider nicht wegen dem Eintrag a3,1 bzw. a1,3. ) wobei meine Matrix A hier gleich der Gramschen Matrix zur Basis $\begin{eqnarray} \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen:* Wenn ich jetzt den Ausartungsraum vons bestimmen möchte, habe ich mir überlegt wie folgt vorzugehen: V:= \left\{ v\in V mit s(v,w)=0 \forall w \in V\right\}. Soweit so gut. Also rechne ich wieder: 1) $\begin{eqnarray} x^{T} \begin{pmatrix} 1 & b & c \\ -b & -1 & f \\ 1-c & -f & 0 \end{pmatrix} * y = 0 \end{eqnarray}$ nur null gesetzt diesmal. Daraus erhalte ich: 2) $\begin{eqnarray} \left(x_{1}- x_{2}b+ x_{3}- x_{3}c \right)y_{1}+ \left(x_{1}b - x_{2}- x_{3}f \right)y_{1}+ \left(x_{1}c+ x_{s}f \right)y_{3} = 0 \end{eqnarray}$ Ok, aber jetzt weiss ich nicht weiter. Wie soll ich diesen Term denn jetzt umstellen oder auflösen? Wahrscheinlich ist es gar nicht soo schwer nur ich sehe den Ansatz nicht. Oder ist mein Ansatz vollkommen falsch? Außerdem soll ich auch den Rang von S bestimmen, aber sowie ich nachgelesen habe, steht der Rang in Zusammenhang mit der Dimension des Ausartungsraums.. Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar. Liebe Grüße crowd
27.04.2012, 11:48	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede relle quadratische Form $\begin{eqnarray} \underbrace{a_{11}x_2^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2}_{\text{rein quadratische Glieder}}+\underbrace{a_{12}x_1x_2+a_{13}x_1x_3+a_{23}x_2x_3}_{\text{gemischte Glieder}} \end{eqnarray}$ kann man mit einer symmetrischen Matrix ausdrücken, indem man die 3 Koeffizienten der gemischten Glieder halbiert und gleichmäßig auf die 6 Nichtdiagonalelemente der Matrix auffteilt. Das ergibt in Matrixschreibweise $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} a_{11} & \tfrac{1}{2}a_{12} & \tfrac{1}{2}a_{13} \\ \tfrac{1}{2}a_{12} & a_{22} & \tfrac{1}{2}a_{23} \\ \tfrac{1}{2}a_{13} & \tfrac{1}{2}a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Diese Matrix ist aber nicht eindeutig, denn man kann im Reellen auch unsymmetrische Matrizen basteln.

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