diskrete Metrik induziert die diskrete Topologie?

27.04.2012, 07:10

noax

diskrete Metrik induziert die diskrete Topologie?

Meine Frage:
Hallo miteinander,
ich soll zeigen, dass die diskrete Metrik
$\begin{eqnarray*} d(x,y)=\begin{cases} 1 & x\neq y \\ 0 & x=y \end{cases} \end{eqnarray*}$
genau nur die diskrete Topologie sprich die Potenzmenge induziert, dabei darf ich noch nicht wirklich von offenen Mengen oder Umgebung sprechen.

Meine Ideen:
sowas wie, da jede Menge $\begin{eqnarray*} E\subset\mathcal{P}(X) \end{eqnarray*}$ für diese Metrik die Axiome des Metrischen Raumes erfüllt, wobei das ja eher von hinten durch die Brust ins Auge ist...
Ehrlich gesagt hab ich da keine wirkliche Idee

27.04.2012, 07:27

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege Dir welche Möglichkeiten es für

$\begin{eqnarray*} B_r(x) \end{eqnarray*}$ bezüglich der Metrik gibt, dann schau Dir an wie die von einer Metrik induzierten Topologie definiert ist.

27.04.2012, 13:03

noax

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(x) \end{eqnarray*}$ bezüglich der Metrik sage meint man ja für $\begin{eqnarray*} \mathcal{P}(X)=\mathcal{O}_{dis} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \quad B_\varepsilon(x)=\{y\in\mathcal{O}_{dis}:d(x,y)<r\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(x,y) \end{eqnarray*}$ ist ja immer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ also z.B. für $\begin{eqnarray*} r=2 \end{eqnarray*}$ habe ich eine offene Umgebung. Aber wie ist die von einer Metrik induzierten Topologie definiert? Was genau meinst du damit?

27.04.2012, 13:08

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast einen metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ und suchst die auf diesem Raum durch die Metrik induzierte Toplogie. Die Topologie ist definiert :

$\begin{eqnarray*} \left\{A \subseteq X : \forall x \in A ~ \exists r \in \mathbb{R}_+ ~ \mathrm{B}_r \left(x\right) \subseteq A\right\} \end{eqnarray*}$

Und dazu muss man sich nur mal $\begin{eqnarray*} B_r(x) \end{eqnarray*}$ bezüglich der Metrik anschauen. $\begin{eqnarray*} B_r(x) \end{eqnarray*}$ wird übrigens in X und nicht in P(X) betrachtet.

27.04.2012, 13:27

noax

Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich jetzt zum Beispiel $\begin{eqnarray*} X=\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ habe und $\begin{eqnarray*} A=]-1,2[ \end{eqnarray*}$ und dann kann ich um 0,1 eine Umgebung $\begin{eqnarray*} B_r(x) \end{eqnarray*}$ so dass nur 0 oder 1 drin liegt aber damit 0 und 1 drin liegt müsste doch r>1 sein, bekomme ich da nicht Probleme am Rand von A oder kann A auch abgeschlossen sein?

27.04.2012, 13:29

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum machst Du es so kompliziert? Es gibt für unsere Metrik 2 Fälle :

$\begin{eqnarray*} B_r(x) = \{x\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_r(x) = X \end{eqnarray*}$ abhängig von r. Mach dir klar warum. Damit ergibt sich dann auch der Rest.

27.04.2012, 13:42

noax

Auf diesen Beitrag antworten »

ahh! also ist doch gemeint z.B. $\begin{eqnarray*} B_{0.5}(x)=\{x\} \end{eqnarray*}$ für die diskrete Metrik, da $\begin{eqnarray*} d(x,y)<0.5 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ und analog dann für r>1

27.04.2012, 13:45

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

So siehts aus! Nennen wir die Topologie T, dann ist

$\begin{eqnarray*} T = P(X) \end{eqnarray*}$

zu zeigen. Also einmal

$\begin{eqnarray*} P(X) \subseteq T \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} T \subseteq P(X) \end{eqnarray*}$ . Beides ist mit obiger Überlegung nicht schwer Augenzwinkern

(letzteres ist sogar trivial)

27.04.2012, 13:57

noax

Auf diesen Beitrag antworten »

also habe ich jetzt für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in X \end{eqnarray*}$ eine Menge $\begin{eqnarray*} \{x\},\{y\} \end{eqnarray*}$ und da ich einen Metrischen Raum habe folgt dass ich eine Topologie habe vor allem gilt ja nach den Definitionen für Topologie
1. $\begin{eqnarray*} \{x\}\cap\{y\}=\emptyset\in T \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \{x\}\cup\{y\} \end{eqnarray*}$ womit ich alle möglichen Mengen $\begin{eqnarray*} \{x,y\} \end{eqnarray*}$ bekomme $\begin{eqnarray*} \in T \end{eqnarray*}$
und auch
3. $\begin{eqnarray*} X\in T \end{eqnarray*}$
so ist T eine Topologie und sogar T=P(X), da ich jede Teilmenge mit 2. konstruieren kann und für Topologien auch eh gilt $\begin{eqnarray*} T\subseteq \mathcal{P}(X) \end{eqnarray*}$

27.04.2012, 14:11

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich denke Du hast eine richtige Idee. Allerdings sollte der Punkt

Zitat:

2. $\begin{eqnarray*} \{x\}\cup\{y\} \end{eqnarray*}$ womit ich alle möglichen Mengen $\begin{eqnarray*} \{x,y\} \end{eqnarray*}$ bekomme $\begin{eqnarray*} \in T \end{eqnarray*}$

präziser Formuliert werden. Für alle $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \{x\} \in T \end{eqnarray*}$ , damit sind natürlich auch deren Vereinigungen in T und man kann jede Menge

$\begin{eqnarray*} A \in P(X) \end{eqnarray*}$ als (auch überabzählbare) Vereinigung von Punktmengen darstellen, nämlich

$\begin{eqnarray*} A = \bigcup_{x \in A}\{x\} \end{eqnarray*}$

. Damit ist $\begin{eqnarray*} P(X) \subseteq T \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

diskrete Metrik induziert die diskrete Topologie?

Verwandte Themen