Integral einer Funktion bilden Lösung vorhanden!

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27.04.2012, 13:37	rollinator	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral einer Funktion bilden Lösung vorhanden! Moin, ich wollte die folgende Funktion integrieren allerdings bekomme ich das nicht ganz hin. $\begin{eqnarray} \int \! yze^{xy} + \frac {x}{\sqrt{x^2+z^2}} \, dx \end{eqnarray}$ die Lösung ist mir bekannt und lautet: $\begin{eqnarray} ze^{xy} + (x^2+z^2)^{\frac{1}{2}} - arctan(yz) + C \end{eqnarray}$ Ok die E-Funktion konnte ich auch noch integrieren! Aber für den zweiten Term fehlt mir (fast) jeder Ansatz? Wie kann man da vorgehen? Substitution?
27.04.2012, 13:49	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral einer Funktion bilden Lösung vorhanden! Den Bruch kannst du mit der Substitution $\begin{eqnarray} x^2+z^2=u \end{eqnarray}$ lösen. Warum der Term arctan(yz) zusätzlich noch auftaucht, kann ich nicht sagen. Zwar ist das durchaus richtig, denn der Term ist bezüglich x ja konstant, verschwindet also wieder beim Ableiten. Aber warum ausgerechnet arctan(yz) zusätzlich zu dem +C, erschließt sich mir nicht. Sieht sehr willkürlich aus. Komplette Aufgabenstellung? Im Übrigen würde ich bei einer Summe den Integranden einklammern.
27.04.2012, 14:21	rollinator	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich hab gedacht, es sei nicht weiter relevant aber jetzt verstehe ich das so langsam. Hier geht es darum die jeweilge Potentialfunktion von: $\begin{eqnarray} U=\begin{pmatrix} yze^{xy} + \frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}} \\ xze^{xy} + \frac{z}{\sqrt{1+y^2z^2}} \\ e^{xy} + \frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}} - \frac{y}{1+y^2z^2}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Rotation von U ist 0 ! Somit gibt es eine Potenzialfunktion! Hmmh und salopp ausgedrückt heißt das: Ich muss eine Stammfunktion finden, die, wenn ich sie in die jeweilige Richtung ableitete U ergibt! Ist das so korrekt?
27.04.2012, 14:27	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, dachte ich mir schon, dass es um sowas geht. Schreib ruhig immer die volle Aufgabenstellung hin. Diese "Stammfunktion" nennt man hier eher ein "Potential". Ja, gesucht ist eine skalare Funktion $\begin{eqnarray} \varphi(x,y,z) \end{eqnarray}$ , deren Gradient gerade wieder $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ergibt: $\begin{eqnarray} \nabla \varphi = U \end{eqnarray}$
27.04.2012, 14:29	rollinator	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok klar ich meinte ja nur salopp gesprochen Stammfunktion. Also Integral, dessen Gradient der gegebenen Funktion entspricht. sprich das Potenzial!
27.04.2012, 15:19	rollinator	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich hab da noch ne Frage zur Integration durch Substitution: also $\begin{eqnarray} u = x^2+z^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u' = 2x \end{eqnarray}$ ergibt für $\begin{eqnarray} \int \! \frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! \frac{x}{\sqrt{u}} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! \frac{x}{\sqrt{u}} \frac{1}{2x} \, du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du \end{eqnarray}$ das kann um es einfacher zu integrieren auch so dargestellt werden: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{2} * u^{\frac{1}{2}} \, du \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} * u^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} * \sqrt{u}^2 \end{eqnarray}$ Hmmh und was ist da jetzt bloß falsch... die Lösung ist ja bekanntlich eine andere??? wenn man u zurücksubstituiert: $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} * \sqrt{x^2+z^2}^2 \end{eqnarray*}$
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27.04.2012, 15:21	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{u}} = u^{\color{red}-\color{black} \frac{1}{2}} \end{eqnarray}$
27.04.2012, 15:24	rollinator	Auf diesen Beitrag antworten »
oh verdammt immer diese verdammten Vorzeichen... Danke für den schnellen Hinweis.
27.04.2012, 15:40	rollinator	Auf diesen Beitrag antworten »
So ein Mist jetzt hab ich langsam mal Integration durch Substitution verstanden, da kann ich das schon nicht mehr anwenden. Ich hänge bei $\begin{eqnarray} \frac{z}{1+y^2z^2} dy \end{eqnarray}$ Substitution macht da keinen Sinn! aber welche Regeln kann ich nun anwenden ahhh?
27.04.2012, 15:43	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Substitution $\begin{eqnarray} yz=t \end{eqnarray}$ landet man wieder bei einem Grundintegral
27.04.2012, 15:48	rollinator	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ist schon schwierig die richtige Substitution zu finden. Hmmh das Grundintegral musste ich nachschlagen!

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