Wie zeigt man, das eine Reihe alterniert?

27.04.2012, 13:43

BatistaVK

Wie zeigt man, das eine Reihe alterniert?

Hallo, liebe Freunde der Mathematik,

Es geht um die folgende Rehe mit:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \left (\frac{1}{n+1} + \frac{(-1)^{n}}{n} \right ) \end{eqnarray*}$

Nun soll ich hier zwei Beweise bringen, die erste, wohl auch die leichteste:

a.) Zeige das die Reihe alterniert

Ich würde das einfach so machen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \left (\frac{1}{n+1} + \frac{(-1)^{n}}{n} \right ) = \frac{n+(-1)^{n}(n+1)}{(n+1)(n)} =\frac{(-1)^{n}(1+\frac{1}{n})}{(1+n)}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(-1)^{n}(1+\frac{1}{n})}{n(1+\frac{1}{n})} = (-1)^{n} \cdot \frac{1}{n} \longrightarrow Alternierende \ Folge! \end{eqnarray*}$

b.) Warum ist das Leibniz-Kriterium nicht anwendbar?

$\begin{eqnarray*} b_{n}= \frac{1}{n} + \frac{(-1)^{n}}{n+1} \end{eqnarray*}$ , sieht man schnell, dass es eine Nullfolge bildet, daher verzichte ich auf die Rechnerei.

Nun, damit man hier das Leibnizkriterium anwenden kann, muss die Folge monoton fallen, also muss gelten: $\begin{eqnarray*} b_{n}\geq b_{n+1} \end{eqnarray*}$

Die Folge lautet ja, $\begin{eqnarray*} b_{n}= \frac{1}{n} + \frac{(-1)^{n}}{n+1} \end{eqnarray*}$

Also,

$\begin{eqnarray*} b_{n}= \frac{1}{n} + \frac{(-1)^{n}}{n+1}\geq \frac{1}{n+1} + \frac{(-1)^{n+1}}{n+2} = b_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \qquad (n+1)(n+2)+(-1)^{n}\geq n(n+2)+1(-1)^{n+1}n(n+1) \end{eqnarray*}$

So recht weiter komme ich ab dieser Stelle alleine nicht mehr weiter...

In der Lösung kommt man auf

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n+2 \geq (-1)^{n+1}n(2n+3) \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie bin ich auf dem Schlauch...

EDIT(Helferlein): Zeilenumbruch einfügt, um Überbreite aufzuheben.

27.04.2012, 14:22

Helferlein

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RE: Wie zeigt man, das eine Reihe alterniert?
Du hast mindestens zwei Fehler drin:

1)
$\begin{eqnarray*} ... = \frac{n+(-1)^{n}(n+1)}{(n+1)(n)} =\frac{(-1)^{n}(1+\frac{1}{n})}{(1+n)} \end{eqnarray*}$

Ich vermute hier wolltest Du n kürzen.
Dann ist der Zähler aber falsch.

2)

Zitat:

Nun, damit man hier das Leibnizkriterium anwenden kann,
muss die Folge monoton fallen

Woher nimmst Du diese Erkenntnis? Da das Leibnitzkriterium bei alternierenden Reihen Anwendung findet, können diese unmöglich monoton fallend sein.
Sie wechseln ja ständig das Vorzeichen.
Richtig ist: $\begin{eqnarray*} (|b_n|)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ muss monoton fallend sein.

27.04.2012, 14:31

BatistaVK

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RE: Wie zeigt man, das eine Reihe alterniert?
Ja, warum ist der Zähler falsch? Hab aus $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ausgeklammert... hm

Und ja, der Betrag muss Monoton fallend, das ändert aber nichts an der Rechnung...

27.04.2012, 14:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von BatistaVK
Ja, warum ist der Zähler falsch?

Na du hast den ersten Summanden im Zähler einfach weggelassen - so geht's nicht. unglücklich

Also wenn schon $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kürzen, dann aber richtig:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+(-1)^{n}(n+1)}{(n+1)n} =\frac{1+(-1)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)}{1+n} \end{eqnarray*}$ .

Ich halte dieses Kürzen hier aber für wenig zweckdienlich, sondern würde direkt zur irgendwann dann doch nötigen Fallunterscheidung übergehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+(-1)^{n}(n+1)}{(n+1)n} = \begin{cases} \frac{2n+1}{(n+1)n} & \;\mbox{für gerade}\; n \\ -\frac{1}{(n+1)n} & \;\mbox{für ungerade}\; n \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Und hier ist dann auch sofort sichtbar, dass die fallende Monotonie der Beträge nicht erfüllt ist, und zwar beim Übergang von einem ungeraden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zum nächstgrößeren geraden $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ .

27.04.2012, 15:45

BatistaVK

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Danke für die Antwort, also brauche ich bei solchen Aufgaben nicht mal eine Induktion? Die Fallunterscheidung war mir schon klar, nur dachte ich, dass ich $\begin{eqnarray*} b_{n} \geq b_{n+1} \end{eqnarray*}$ erst mal soweit umformen muss und dann erst eine Fallunterscheidung machen müsste...

27.04.2012, 16:58

BatistaVK

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Eine Frage hätte ich noch, wie kommt man zu dieser Gleichung:

Von hier:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \qquad (n+1)(n+2)+(-1)^{n}n\geq n(n+2)+1(-1)^{n+1}n(n+1) \end{eqnarray*}$

Komme einfach nicht hierhin...

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n+2 \geq (-1)^{n+1}n(2n+3) \end{eqnarray*}$

27.04.2012, 17:33

HAL 9000

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Warum quälst du dich so rum mit diesen Termen, die $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ enthalten, wenn du sie am Ende nicht beherrschst? Mach eine Fallunterscheidung "n gerade / n ungerade", und fertig.

27.04.2012, 17:49

BatistaVK

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Jap, habe es auch gemacht... würde es aber nur beherrschen können... aber danke für die Antwort. smile

Hat mich halt interessiert, wie man auf so was kommen kann.^^

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