Unabhängigkeit und Verschwinden Kovarianz zu zeigen

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pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit und Verschwinden Kovarianz zu zeigen
Hallo zusammen

Ich komme hier nicht weiter:

-
Mit einer gleichverteilten Zufallsvariablen X auf [-1,1] sei .
Zeigen Sie nun, dass
a) X, Y unabhängig
b) cov(X,Y)=0
-

Meine Versuche bei a)
Ich nehme an, dass X und Y unabhängig. Verstehe hier aber nicht, wie ich das weiterrechnen soll?


Zu b)
Wenn ich die Dichtefunktion und die Formel für den Erwartungswert einsetze, habe ich:
und
sowie die Gleichung für die Kovarianz



Zum einen krieg ich da erstmal nicht 0 raus und zum anderen, wenn ich die Integrale unbestimmt berechne wie in (*) (darf man das überhaupt...? mit der Integralkonstanten C dann oder wie?), kriege ich ebenso nicht 0 raus.

Was meint ihr, habt ihr da ev. Ideen?

Grüsse
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

a) kann man nicht zeigen. Da es falsch ist, kann man es allenfalls widerlegen!

Oder soll es heißen "unkorelliert" statt "unabhängig"? Aber das wäre ja dann dasselbe wie b). unglücklich


b) Deine Rechnung zur Kovarianz ist ja himmelschreiend lang. Es ist doch

,

d.h. du brauchst lediglich die Momente

,

auszurechnen, was insbesondere einbringt.



P.S. zu a): Es gibt überhaupt nur ein mögliches, triviales Szenario, so dass und unabängig sind: Dazu muss fast sicher konstant sein - in allen anderen Fällen kann man die Abhängigkeit nachweisen, so auch hier.
 
 
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unabhängigkeit und Verschwinden Kovarianz zu zeigen
Zitat:
Original von pablosen
Hallo zusammen

Ich komme hier nicht weiter:

-
Mit einer gleichverteilten Zufallsvariablen X auf [-1,1] sei .
Zeigen Sie nun, dass
a) X, Y unabhängig
b) cov(X,Y)=0
-

Meine Versuche bei a)
Ich nehme an, dass X und Y unabhängig. Verstehe hier aber nicht, wie ich das weiterrechnen soll?

Die Unabhängigkeit von X und Y ist doch gerade zu zeigen, da kannst du in deinem Beweis nicht voraussetzen, dass diese unabhängig sind Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Math1986

Ich lese aus der "Gleichung" nur eine Verwechslung von Zufallsgrößen und Ereignissen heraus... Augenzwinkern
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL 9000:
Ich meine
Zitat:
Zeigen Sie nun, dass
a) X, Y unabhängig(...)

Meine Versuche bei a)
Ich nehme an, dass X und Y unabhängig.

Wenn ich in einem Beweis das annehme, was ich eigendlich zeigen möchte, dann ist das irgendwie ziemlich sinnfrei.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte deiner Aussage nicht widersprechen, sondern sie lediglich durch einen anderen Aspekt ergänzen. Vermutliich habe ich mich da missverständlich ausgedrückt. Augenzwinkern
pablovschby Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Danke, werde b) morgen anschauen.

Zu a) Es heisst in der Aufgabenstellung natürlich: Man zeige, X und Y sind nicht unabhängig.

Für den Beweis mit Widerspruch nehme ich dann Unabhängigkeit an.

Jetzt ist es klar, ja? Könnt ihr ev. bei a) auch weiterhelfen?

Grüsse&Gute Nacht
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pablovschby
Könnt ihr ev. bei a) auch weiterhelfen?

Hast du denn nach dem kleinen Rüffel von oben inzwischen nachgesehen, was Unabhängigkeit von Zufallsgrößen (im Gegensatz zu Unabhängigkeit von Ereignissen) bedeutet, d.h., wie die eigentlich definiert ist?
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen

Woher ist diese Formel hier:


Ich habe die noch nie gesehen, ich kenne nur diese hier:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/2/e/d/2ed086a30d8aa98446d36f74e61cf689.png

Gibt es da einen Unterschied oder kann man überall auch deine obere nehmen, HAL?

Zu a)
Zitat:
Zwei Zufallsvariablen X,Y heißen unabhängig, wenn die von ihnen erzeugten Ereignisräume stochastisch unabhängig sind.
Hier gilt dann genau die obige Gleichung



Wie führe ich das zu einem Widerspruch oder wie sonst ist vorzugehen, wenn ich diese Gleichung nicht benutzen darf?
Grüsse
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pablosen
Woher ist diese Formel hier:

Die eine Gleichung folgt aus der anderen, durch Anwendung der Linearität des Erwartungswertoperators:



Das gilt natürlich auch für den hier vorliegenden Fall .

Zitat:
Original von pablosen
Hier gilt dann genau die obige Gleichung



Habe ich oben nicht ausdrücklich drauf hingewiesen, dass es einen deutlichen Unterschied zwischen der Unabhängigkeit von Ereignissen und der Unabhängigkeit von Zufallsgrößen gibt? Nein, es wird ignoriert, und stattdessen derselbe furchtbare Unsinn wiederholt. unglücklich

Was soll denn das darstellen, der "Durchschnitt zweier Zufallsgrößen" ? Finger1

Welche Gleichung du "stattdessen" nutzen sollst? Auf jeden Fall mal eine, die überhaupt Sinn machst - das solltest du ja gerade heraussuchen!


P.S.: Nach dem kleinen jetzt also der große Rüffel. Es sollte für einen intelligenten Menschen (wovon ich bei Hochschulreife ja ausgehe) doch möglich sein, nach einem ausdrücklichen Hinweis auf das Problem die richtige Definition herauszusuchen. Dazu muss man sich heutzutage nicht mal mehr auf den Weg in die Bibliothek begeben, es genügt eine winzige Internetsuche.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Ja für Zufallsvariablen X,Y bedeutet das



wobei F die jeweiligen Dichtefunktionen? Meintest du das?

Die Dichtefunktion von X ist ja aber wie berechne ich die anderen?
...?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
immer noch ziemlich falsch, aber der gute Wille zählt...
Anscheinend meinst du



für alle , wobei bzw. die Verteilungsfunktionen von bzw. des Vektors sind.


Für stetige Zufallsgrößen gibt es auch ein vergleichbares Kriterium für Dichten



für fast alle , aber das ist nur anwendbar, wenn auch der stetig verteilt ist, denn sonst existiert die gemeinsame Dichte gar nicht. Dummerweise ist genau das hier bei der Fall: Die Dichte existiert nicht.


Bleiben wir also bei den Verteilungsfunktionen: Wenn du die Unabhängigkeit von widerlegen willst, dann genügt die Angabe eines einzigen Paares , so dass (*) nicht gilt.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: immer noch ziemlich falsch, aber der gute Wille zählt...
Zitat:
Original von HAL 9000Bleiben wir also bei den Verteilungsfunktionen: Wenn du die Unabhängigkeit von widerlegen willst, dann genügt die Angabe eines einzigen Paares , so dass (*) nicht gilt.
Danke aber was bringt mir das, wenn ich die Verteilungsfunktion von Y nicht berechnen kann?

Ich nehme das Paar

Wie berechne ich nun die Verteilungen?

Gruss
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pablosen
Danke aber was bringt mir das, wenn ich die Verteilungsfunktion von Y nicht berechnen kann?

Warum versuchst du es nicht? Für ist

.


P.S.: Genaugenommen benötigt man überhaubt nicht die genaue Verteilung von und dann folgend , wenn man sich hierfür

Zitat:
Original von HAL 9000
Es gibt überhaupt nur ein mögliches, triviales Szenario, so dass und unabängig sind: Dazu muss fast sicher konstant sein - in allen anderen Fällen kann man die Abhängigkeit nachweisen

mal einen Beweis bastelt.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, Danke.

Gut, dann versuch ichs mal wieder ^^ :

Also ich verstehe das mal. Dann ist




Darf ich (*) machen so?

Warum kann dies so nicht sein? Das könnte ja die Nullfunktion sein. Aber warum sollte die Funktion nicht monoton steigend sein und nicht auch irgendwann 1 werden können? Was ist da der Grund. Es kann ja

gegen Null und gegen 1 gehen für gegen 1.

Warum kann das nicht sein?

Grüsse
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pablosen

Das freundlichste, was ich zu dieser Umformung sagen kann: Wenigstens hattest du Zweifel.

So eine Überlegung überhaupt anzubieten, zeugt von desaströsen Defiziten in den wichtigsten Grundlagen der Stochastik. Ich schlage vor, den Thread in den Schulbereich zu verschieben - hier hat er nichts mehr verloren.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hallo.

Und was schlägst du nun hier als Lösung dieser Aufgabe vor? Ich kann sie leider nicht lösen.

Grüsse
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pablosen
Und was schlägst du nun hier als Lösung dieser Aufgabe vor?

Angesichts der umfangreichen Vorschläge dazu hier im Thread betrachte ich das mal als eine äußerst unüberlegte Äußerung - bestenfalls. Anderfalls simpel als Frechheit.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von pablosen
Und was schlägst du nun hier als Lösung dieser Aufgabe vor?

Angesichts der umfangreichen Vorschläge dazu hier im Thread betrachte ich das mal als eine äußerst unüberlegte Äußerung - bestenfalls. Anderfalls simpel als Frechheit.
Tut mir leid, dann habe ich mich unglücklich ausgedrückt.


Hier hat niemand einen konkreteren Vorschlag zur Aufgabe, denn ich kann den Teil zur nicht-Unabhängigkeit leider so noch nicht lösen.

Grüsse
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: immer noch ziemlich falsch, aber der gute Wille zählt...
Zitat:
Original von HAL 9000


für alle , wobei bzw. die Verteilungsfunktionen von bzw. des Vektors sind.

[...]

Wenn du die Unabhängigkeit von widerlegen willst, dann genügt die Angabe eines einzigen Paares , so dass (*) nicht gilt.

Ich mache es mal ganz, ganz konkret: Wähle , d.h. berechne die drei Werte







und überzeuge dich anhand dieser Werte dann davon, dass

Nicht dass diese Werte nötig wären: So ziemlich jede andere Kombination erfüllt ebenfalls diese Ungleichheits-Eigenschaft.


pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich konkret die Berechnung der Verteilung von X benützen darf:

Mit ist Das sehe ich, wenn ich die Gleichverteilung von X aufzeichne. Dann erhalte ich:





Sorry, wenn das wieder falsch ist. Ich darf wahrscheinlich die Verteilungsfunktion gar nicht nutzen... (?)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pablosen




Du hast da diverse Gleichheitszeichen eingestreut, da läuft es einem eiskalt den Rücken herunter. In der Variante

Zitat:





wäre es schon besser, auch wenn der rote Teil komplett falsch ist (eine negative Wahrscheinlichkeit , geht's noch? geschockt ). Tatsächlich ist

.
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Ja was ist daran jetzt bitte falsch? Ich nehme ja an, dass die 2 unabhängig sind also gilt mir dann auch diese Gleichheit hier:



Dies führt dann aber zum Widerspruch. Was daran ist bitte falsch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hoffen wir mal, dass du in Zukunft bei derartigen Gleichungsketten immer gut erklärst (d.h. besser als hier, und nicht erst im Nachhinein auf Nachfrage), welches Gleichungszeichen gerade auf einer indirekten Annahme basiert und welches nicht. Wenn du nicht einsiehst, dass die veränderte Gleichungskette logisch klarer ist und nicht solcher verwirrender Kapriolen bedarf, dann lass es eben bleiben.


P.S.: Für Interessierte: Man kann sehr einfach folgende viel allgemeinere Aussage beweisen:

Zitat:
Ist eine Zufallsgröße und eine messbare Funktion derart, dass nicht fast sicher konstant ist, dann sind und nicht unabhängig.

Beweis: Die Nichtkonstanz von bedeutet, dass es eine reelle Borelmenge mit gibt. Nun ist , d.h. mit sowie folgt

,

also keine Unabhängigkeit.
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