Divergenz Beweis ((-1)^{n})

27.04.2012, 16:45

Chaos-t

Divergenz Beweis ((-1)^{n})

Zitat:

Die Folge $\begin{eqnarray*} (- 1)^{n} \end{eqnarray*}$ divergiert.
Beweis: Angenommen die Folge konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , dann gäbe es für E(Epsilon) = 1 ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ ,
sodass für $\begin{eqnarray*} n \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |a_{n}-a| < 1 \end{eqnarray*}$ , dann gilt
$\begin{eqnarray*} 2 = |a_{n+1}-a_{n}| = |a_{n+1}-a|+|a-a_{n} | \leq|a_{n+1} - a| + |a_{n} - a| < 1 + 1 = 2 \end{eqnarray*}$
Widerspruch!

In der letzten Vorlesung hat der Prof. versucht uns Konvergenz zu erläutern und bewis uns die oben genannte Folge mit den jeweiligen Schritten. Jedoch habe ich Probleme diese zu verstehen und wollte euch um Rat bitten. Mein Problem fängt ab dieser Zeile an

Zitat:

dann gilt $\begin{eqnarray*} 2 = |a_{n+1}-a_{n}| \end{eqnarray*}$

Warum gilt dies? Ich habe es ehrlich gesagt nicht verstehen können?

EDIT: Das mit Latex hat leider nicht so geklappt wie erhofft. Sry dafür

Edit Equester: Hab dir mal die Latexklammern gesetzt.
Schaue dafür auch hier: Wie kann man Formeln schreiben?

27.04.2012, 20:17

Bjoern1982

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Naja welche Werte kann die gegebene Folge denn nur annehmen und was muss damit dann automatisch für die Differenz aus einem Folgeglied a_n und seinem Nachfolger a_n+1 betragsmäßig gelten ?

27.04.2012, 20:38

Chaos-t

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Naja welche Werte kann die gegebene Folge denn nur annehmen und was muss damit dann automatisch für die Differenz aus einem Folgeglied a_n und seinem Nachfolger a_n+1 betragsmäßig gelten ?

Also $\begin{eqnarray*} |a_{n} - a_{n+1}| \end{eqnarray*}$ wäre in dem Fall 2, wenn $\begin{eqnarray*} a_{n} = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} a_{n} = -1 \end{eqnarray*}$ ist.

Edit Equester: Latexklammern gesetzt.

27.04.2012, 20:45

Valdas Ivanauskas

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Nichts als simple Potenzrechnung:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|=|(-1)^{n+1}-(-1)^n|=|(-1)^{n}(-1-1)|=\ldots \end{eqnarray*}$

27.04.2012, 20:54

Chaos-t

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Zitat:

Original von Valdas Ivanauskas
Nichts als simple Potenzrechnung:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|=|(-1)^{n+1}-(-1)^n|=|(-1)^{n}(-1-1)|=\ldots \end{eqnarray*}$

Wie kommt man den von $\begin{eqnarray*} |(-1)^{n+1}-(-1)^n| \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} |(-1)^{n}(-1-1)| \end{eqnarray*}$

27.04.2012, 21:11

Valdas Ivanauskas

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Indem man das Distributivgesetz und die Rechenregeln für die Multiplikation von Potenzen gleicher Basis anwendet.

Im Analysis Bereich der Hochschulmathematik halte ich eine solche Frage eigentlich für eher deplaziert..

27.04.2012, 21:30

Chaos-t

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Hab es verstanden. Danke für die Hilfe. Wink

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Divergenz Beweis ((-1)^{n})

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