statistischer Fehler

24.01.2007, 10:58

HarryKane

statistischer Fehler

Hi, ich habs nicht so mit der Stochastik (wiki hat mir da auch nicht viel weitergeholfen), drum muss ich euch mal belästigen.

Ich untersuche einen Prozess und möchte herausfinden mit welcher Wahrscheinlichkeit er in Kategorie A, B, C, .... endet. Der Prozess ist von diversen Anfangsbedingungen abhängig, die ich zufällig auswähle. Ich nehme jetzt der einfachheit halber an, das A, B, C ... von ein ander unabhängig sind (stimmt zwar nicht ganz, aber ich denke das lässt sich vernachlässigen).

So nun meine Frage: Wenn ich N mal den Prozess ausführe, wie groß muss ich die Fehlergrenzen ansetzen (und warum verwirrt

25.01.2007, 18:30

Zahlenschubser

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RE: statistischer Fehler
Hi!

Ich denke, ich habe nichts verstanden. Was heißt bei dir Prozess? Ein stochastischer Prozess? In Form einer Gleichung? Und was sind deine Kategorien???

29.01.2007, 12:42

HarryKane

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Ok, wahr vielleicht doch etwas zu abstrakt verwirrt

Ich löse numerisch eine Differentialgleichung, die beschreibt wie sich ein Staubteilchen unter einfluss von verschiedenen Kräften (Gravitation, Strahlungsdruck, ...) um einen Stern bewegt. Dabei kann es in Resonanz mit einem Planeten kommen (grob gesagt: rationales Verhältnes der Umlaufzeiten).

Ich will heraus bekommen, wie die Wahrscheinlichkeit eines Partikels ist, in so einer Resonanz eingefangen zu werden.

Ich lasse also nacheinander N Teilchen mit zufällig gewählten Anfangswerten starten und beobachte ihren Weg. Sie wandern dabei von Aussen des Sternensystems nach Innen. Auf ihren Weg werden sie dann möglicher Weise von den verschiedenen Resonanzen (meine Kategorien) eingefangen.

Da es sich um ein 3 Körper Problem handelt, kann ich es also nicht analytisch lösen.

Wenn ich nun die N Teilchen gerechnet habe dann verteilen sich auf die verschiedenen Resonanzen n_1, ..., n_N Teilchen. Die Wahrscheinlichkeit eines Resoanzeinfangs berechne ich dann grob mit n_i/N.

Meine Frage ist nun, welchen Fehler muss ich dann angeben. Als wie groß sollte ich die Schwankung annehmen?

29.01.2007, 14:19

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Es geht also um folgendes statistisches Problem:

Du willst eine diskrete Wahescheinlichkeitsverteilung $\begin{eqnarray*} p_1,\ldots,p_m \end{eqnarray*}$ schätzen mit Hilfe der absoluten Häufigkeiten $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ des Auftauchens bei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Versuchen, d.h., gemäß Schätzer

$\begin{eqnarray*} \hat{p}_k = \frac{n_k}{N} \end{eqnarray*}$ .

Bekanntlich ist $\begin{eqnarray*} N\hat{p}_k\sim B(N,p_k)\approx \mathcal{N}(Np_k,Np_k(1-p_k)) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \hat{p}_k\sim \mathcal{N}\left( p_k, \frac{1}{N}p_k(1-p_k) \right) \end{eqnarray*}$ , daraus lassen sich dann Konfidenzintervalle für $\begin{eqnarray*} \hat{p}_k \end{eqnarray*}$ ableiten, oder was du sonst noch braucht.

29.01.2007, 14:48

HarryKane

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Es geht also um folgendes statistisches Problem:

Du willst eine diskrete Wahescheinlichkeitsverteilung $\begin{eqnarray*} p_1,\ldots,p_m \end{eqnarray*}$ schätzen mit Hilfe der absoluten Häufigkeiten $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ des Auftauchens bei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Versuchen, d.h., gemäß Schätzer

$\begin{eqnarray*} \hat{p}_k = \frac{n_k}{N} \end{eqnarray*}$ .

Bekanntlich ist $\begin{eqnarray*} N\hat{p}_k\sim B(N,p_k)\approx \mathcal{N}(Np_k,Np_k(1-p_k)) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \hat{p}_k\sim \mathcal{N}\left( p_k, \frac{1}{N}p_k(1-p_k) \right) \end{eqnarray*}$ , daraus lassen sich dann Konfidenzintervalle für $\begin{eqnarray*} \hat{p}_k \end{eqnarray*}$ ableiten, oder was du sonst noch braucht.

Kannst du mir bitte noch dazu sagen was $\begin{eqnarray*} B(N,p_k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(Np_k,Np_k(1-p_k)) \end{eqnarray*}$ ist? Hab bisher noch keine Stochastik-Vorlesung gehört, darum kenne ich mich mit dem Vokabular und der Notation nicht aus.

29.01.2007, 16:16

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Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$

Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$

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