diophantische gleichung höherer ordnung lösen

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mathewk Auf diesen Beitrag antworten »
diophantische gleichung höherer ordnung lösen
Hallo zusammen folgende aufgabe habe ich zu lösen: Geben Sie alle Lösungen der Gleichung an. Wir hängen in der Vorlesung n bissl zurück, hatten nun aber doch eine solche Aufgabe als Hausaufgabe auf.
Kann mir jemand anhand eines anderen Beispiels ähnlicher Form das Lösen dieser diophantischen Gleichungen höherer Ordnung erklären. Vielen Dank im voraus.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne da kein Universalrezept. Aber hier konkret würde man sehr gut über die Faktorisierung



argumentieren können.
mathewk Auf diesen Beitrag antworten »

@hal9000: hmm...irgendwie häng ich hier. hab jetzt zwar ne lösung durch probieren x=2 und y=5 heraus.aber weiß gerade nicht wie ich deinen tipp richtig nutzen kann.kannst du mir vielleicht den nächsten schritt verraten?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Rechts steht ein Produkt der beiden ganzen Zahlen und . Die Anzahl der Möglichkeiten, eine fest vorgebene Zahl wie die 9 als ein Produkt ganzer Zahlen darzustellen, ist ziemlich limitiert und über die Primfaktordarstellung dieser Zahl (hier also ) sind schnell alle möglichen Fälle darstellbar.

Wenn man noch in Rechnung stellt, dass mit auch die drei Paare , und Lösungen sind, kann man sich zunächst o.B.d.A. dem Fall widmen. Damit muss der erste Faktor positiv sein, und er ist ja wegen auf jeden Fall mindestens so groß wie der zweite Faktor. Es bleiben also lediglich noch die Fälle

a)

b)

zu untersuchen, beide liefern Lösungen.
mathewk Auf diesen Beitrag antworten »

vielen lieben dank hal9000 habs verstanden ;-)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl diese Lösung an Einfachheit natürlich nicht zu übetreffen ist, sei nur prinzipiell daran erinnert, dass man die pythagoräisc
hen Tripel
ja alle kennt, woraus insbesondere für nichtnegative Lösungen (x,y) dann eine Darstellung



folgt, wobei man aus der letzten Gleichung leicht alle Möglichkeiten für r,s und t bekommt...
 
 
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